基于随机库存系统的提前期需求分布推导

基于随机库存系统的提前期需求分布推导摘要对研究提前期需求分布（distributionofleadtimedemand）的几种方法，本文关注的是其中的复合分布法。为减少分析量，大部分已知的分析模型都运用复合分布法，并忽略一些分量的复合性质。本文描述了一个理论检验，并阐明了分析模型时的假设，为研究人员和实践者提供一些预防措施。关键词存货提前期需求复合分布更新过程1.引言提前期需求分布是设计存货管理系统的基本知识，这使提前期需求不断得到研究人员和实践者的关注。在随机存货模型的作品中，关于LTD的理论研究可被粗略的分为三组：第一组运用多种理论分布表示LTD，包括泊松分布、伽玛分布、正态分布、截略正态分布、对数正态分布、威布尔分布、非参数分布（Poisson,Gamma，Normal,TruncatedNormal,Lognormal,Weibull,Non-parametric）等等。第二组试图适应包含4个参数的分布中的一个，皮尔逊分布或SchmeiserDeutsch。这组的研究者包括Kottas和Lau(1980)，Kumaran和Achary(1996)，Lau和Lau(1993)，Shore(1999)等。第三组尝试从给定的需求分布和提前期得到LTD分布，包括Bagchi等人(1984)，Carlson(1982)，Girlich(1996)，McFadden(1972)，vanderHeijden和deKok(1998)等。本文的重点在第三组方法，很明显它将LTD分布视为复合分布。如Bagchi等人提到的，复合分布法有以下优势：（1）复合分布的分量能单独作为模型，可以估计参数；（2）由于单个分量有更简单的结构，所以这比直接用复合分布建模更加可靠，而且这种方法可充分利用数据。以上研究中，期间需求和提前期被假定为随机变量，LTD分布被视为复合分布。Bagchi等人提出了得到LTD分布的方法。OS-OI-LT法首先将订单强度（orderintensity）、订单大小（ordersize）、交货提前期作为主要因素。然后，为减少LTD的分析任务，将其中的两个合并为中间因素。依据此法的研究是最让人满意的，这并不让人奇怪。因为即使只有两个随机因素，复合分布的分析依然是具有挑战性的。一方面，对LTD分布建模会出现大量的计算困难，不易操作。另一方面，即使用更简单的LTD分布法建模，也不足以代表真实值。毫无疑问，我们会将用更简单的分布法得到的值作为近似值。然而，我们需要研究的是在什么情况下更适合用更简单的方法。本文并不旨在评论复合分布法中最常用的OS-OI-LT法，而是通过阐明OS-OI-LT法的假设和一些预防措施来帮助研究人员和实践者们在现实中运用OS-OI-LT法。首先，我们定义了所研究的问题的情形，将得到LTD的两种分布法---OS-OI-LT和OS-IT-LT视为复合分布法。然后从理论上对两种方法进行检验和比较。基于检验和比较的结果，详细观察了OS-OI-LT法的特征，并指出在哪种情况下适合用OS-OI-LT法。最后，我们在不同情形下进行了对比实验。2.LTD的复合分布法图1描述了我们关注的情况。顾客订单到达的时间是随机的，假定下订单的时间间隔是随机的且相互独立，由单位的数量表示。假定订单大小也相互独立，那么LTD就是在LT顾客需要的总单位数量。如图1中的LTD是19。若将0-t之间的累积需求定义为D（t），那么LTD就是D（LT）。在存货管理系统中，LT或补充存货时间是装满一个订单与从供应商那里接到订单的时间（LT0）。图2描述了两种得到LTD的方法。左边的方法是由Bagchi等人提出的OS-OI-LT法。它首先通过订单强度（OI）、每个时期的订单量和订单大小（OS）得到每单位时间的需求(DPUT)，即一个时期的总需求。然后将DPUT和LT结合在一起就得到了LTD。（Bagchi等人还提出过另外一种方法，此法运用了提前期订单饱和度、由OI和LT得到的提前期订单数量，然而由于这种方法与OS-OI-LT法基本相同，且知道的人不多，所以本文将此法略去。）右边的方法是OS-IT-LT法，常被用于研究随机存货系统。OS-IT-LT法首先运用OS和到达间隔（IT，连续订单间的持续时间）得到D(t)，然后联合D(t)和LT得到LTD。虽然OS-IT-LT法在计算和分析上较为棘手，但它比OS-OI-LT法更适合我们考虑的情形。我们将通过OS-IT-LT法来研究OS-OI-LT法的特点。2.1OS-IT-LT法OS-IT-LT法运用OS和IT得到D(t)，即在0到t期间的总需求。假设一个订单大小的数列{OSi，i=0,1,2,……}，数列中每个OSi都是独立的，且有相同的概率质量函数（probabilitymassfunction）h(.)和累积分布函数H(.)，均值为OS，方差为2OS。那么当t0时D(t)可定义如下：N（t）是0到t期间顾客的订单数，N(0)=0，D(0)=0。F(d;t)是D(t)的分布函数，给定时间t，令d,t0，则假设数列{ITi,i=0,1,2,……}为顾客下订单的时间间隔，其中每个ITi都相互独立，服从相同的概率密度函数g(.)和分布函数G(.)，均值IT，方差2IT。非负整数随机过程（nonnegativeinteger-valuedstochasticprocess）{N(t),t0}是一个更新过程，它记录了0到t期间顾客下的订单。设Wn为第n个订单发生前的等待时间。这里W0=0，IT0=0。等待时间过程{Wn,n=0,1,2,……}和再生过程{N(t),t0}间的基本联系是，如果只有Wnt，那么N(t)n。对于n,t0，（4）这里Gn(t)是G(t)的n重积分。当t0时，G0(t)=1,G1(t)=G(t)。因此，从（4）中，可以得到，当n,t0时，将（6）代入2中，得d,t0时Hn(d)是H(d)的n重积分，因此d0时，H0(d)=1，H1(d)=H(d)。由（7）表示的D(t)的累积分布函数决定于（5）和（8），通过转化方式可以得到D(t)的更加详细的描述。我们分别用定理1和定理2表示一般的离散型分布和连续型分布（generaldiscreteandcontinuousdistributions）。定理1：h(x)是x的（离散型）概率质量函数，x=０，１，２……，Ｈ(x)定义为，当n１时这里jl是非负整数，证明：运用离散拉普拉斯算子L[u]=，得*是离散型有限积分，由（10）定义的是中sj的系数。定义为指示函数（indicatorfunction），即x=0时，=1，x≠0时，=0。将代入（11）中，得定理2：如果g(t)是t0时的（连续型）概率密度函数，，那么时Gn(t)可大概定义为L是将的时间等分成的数量，jl是非负整数，证明：我们通过拉格朗日插值多项式（Lagrangeinterpolatingpolynomial）pl(t)在点（ti,g(ti)）处接近g(t)，。（5）中的Gn（t）重新定义为将拉普拉斯算子L[u]=代入到（15）中，得其中bn(k)由（14）定义，它是1/sj在中的系数。将代入（16），得到（13）。最后，联合D(t)和LT，得到LTD。设L(d)是LTD的累积分布函数，LT服从k(.)的概率密度函数，均值为LT，方差2LT,则d0时2.2OS-OI-LT法OS-OI-LT法结合OS和OI，通过隐式处理DPUT的复合性质，减少了决定LTD的分析任务。假定OI服从概率质量函数p(.)，均值OI，方差2OI,那么每单位时间的需求可定义为其联合概率分布（associatedprobabilitydistribution）为为得出LTD，OS-OI-LT法将DPUT和LT联合起来。然而，（19）式没有包括时间参数。因此，在OS-OI-LT法中，在0到t时间的总需求D（t）由一段时间的DPUT得到。换句话说，因为DPUT是单位时间的需求，OS-OI-LT法假定D（t）是由和DPUT成比例的时间得到。则d0,t0时与（7）式相比，（20）表明了OS-OI-LT法通过忽略DPUT的复合性质而减少任务量。最后，得到的LTD与（17）式类似。2.3对OS-IT-LT法的理论检验Bagchi等人认为，为得到解答，忽略OS-OI-LT法中的中间分量的复合性质可能需要支付代价。然而，如果这个代价不可接受，我们认为最好还是考虑其他方法。通过比较这两种方法，我们检验需求过程的特性，并指出在何种情况下，适合用OS-OI-LT法。在OS-IT-LT法中，由于（1）中的OSi和N（t）是随机变量，所以D(t)也是随机变量。D(t)的均值和方差为同样，（18）式中，DPUT也是随机变量，均值和方差为由于OS-OI-LT法假定D（t）是由和DPUT成比例的时间得到，OS-OI-LT法中D(t)的均值和方差为我们运用方差和均值的比值（variance-to-meanratio）(VMR)来测量需求变化。虽然VMR（也称离差指数）与经常使用的变动系数相比少为人知，但它更易区分离散分布。根据（23）式，OS-OI-LT法基于假定累积需求的VMR是不变的。换句话说，累积需求的均值和方差随着时间以相同比率增加。当（21）中的更新过程是泊松过程时，这个假定是有道理的，换句话说，只有当IT服从指数分布时，OS-OI-LT法和OS-IT-LT法才是相容的。但是，根据N(t)的渐近性态（asymptoticbehaviors），N(t)的均值和方差的估计值分别是t/μIT和，这就意味着在时间足够长的情况下，无论IT服从什么分布，两种方法得到的D（t）类似。基于以上理论检验，我们可以推断，OS-OI-LT法适合需求过程是复合泊淞过程的情况。我们还可以推断，即使是其他情况，当IT的均值μIT大到允许使用渐近线时，也可以用OS-OI-LT法。下一节我们通过不同情形下的对比实验来检验这个推测。3.对比试验为检验两种方法，我们进行了多种情况下的对比试验，见表1。设IT的分布为均匀分布和指数分布，OS的分布为均匀分布、二项式分布和泊松分布。为了确定LT的影响，我们考虑μLT=3.0，μLT=5.0（≦μIT）和μIT=10.0，μIT=20.0（≧μIT）以及LT服从指数分布的情形。图3表示了表1中的不同情形下D（t）的VMR，可以看到，随着时间的变化，所有情形下的D（t）的VMR都接近一个固定值。因此，我们可以推测，如果考虑的时间足够长，则两种方法得出的LTD相似。LTD的累积分布函数L(d)可用OS-IT-LT法有（17）式得到。然而，为了用OS-OI-LT法得到L(d)（来自（20）式中的D（t））,我们需要有关OI和p(n)(它们都很难进行分析)的信息。由于我们的单独实验结果表明，给定时间时，D（t）向右倾斜，数据点也进一步证实，因此我们用伽玛分布作为D（t）的渐进逼近。又由于OS-OI-LT法基于假设累积需求的VMR是固定不变的，所以这里的伽玛分布有一个依赖于时间t的参数α。图（4）表示的是在表1中的情形1下，两种方法得出的L（d）的对比。第一个对比的是IT～U（1.0，9.0），OS～U（15，25），LT～E（3.0）或E（10.0）的情况，第二个对比的是IT～U（6.0，14.0），OS～U（15，25），LT～E（5.0）或E（20.0）的情况。这是只解释一种对比实验的结果，另一种可按同样方式进行推导。在图4中的第一个对比中，μLT=3.0（即μLTμIT）时的近似均值为12（=），μLT=10.0(μLTμIT)是的近似均值为4.0。如果对两种方法的近似均值进行对比，可以看到近似均值为40的（μLTμIT）的结果比12（μLTμIT）更好。我们可以推断，当μLTμIT时，结果将更好。图5-7表示了表1中的其他情形的对比结果。可以看到，它们的结果与图4相似。图3图4图5图6图74.结论求LTD分析的过程涉及需求和LT，它引出了复合分布，这使其分析任务变得困