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机械工程控制基础主讲人：焦锋机械与动力工程学院机械类专业必修课2011年9月河南理工大学机械与动力工程学院1教学内容0、课程准备6、系统的性能指标与校正1、绪论3、系统的时间响应分析2、系统的数学模型4、系统的频率特性分析5、系统的稳定性分析河南理工大学机械与动力工程学院2教学内容第二章系统的数学模型教学内容教学内容河南理工大学机械与动力工程学院3¾为什么要建立系统的数学模型？¾什么是数学模型？¾如何建立数学模型（建模方法）？引言数学模型引言河南理工大学机械与动力工程学院4引言研究与分析一个系统，首先要定性地了解系统的工作原理及其特性。但是，如果想对系统进行控制，或系统在运行过程中出现故障，或者要进一步改善系统的性能，那么，仅仅了解工作原理和特性是完全不够的。我们还要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就需要建立系统的数学模型。为什么建立系统的数学模型－Why？对系统从定性的认识上升到定量的精确认识的需要。河南理工大学机械与动力工程学院5什么是数学模型－What？系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在的关系。对于同一系统，可以建立多种形式的数学模型。如微分方程、传递函数、时间响应函数、频率特性及状态空间等。引言微分方程传递函数频率响应函数时间响应函数河南理工大学机械与动力工程学院6数学模型微分方程传递函数频率特性时域复数域频域时间响应引言引言Bode图Nyquist图河南理工大学机械与动力工程学院7分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式。实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应通过数据整理，拟合出比较接近实际系统的数学表达式。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。引言如何建立数学模型（建模方法）（How）简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。例如：牛顿运动定律、欧姆定律、克希荷夫定律；虎克定律；流体力学。河南理工大学机械与动力工程学院8本章介绍的内容：系统微分方程传递函数典型环节传递函数方框图及简化相似原理引言考虑扰动反馈控制系统传递函数河南理工大学机械与动力工程学院9教学内容第一节系统的微分方程教学内容教学内容河南理工大学机械与动力工程学院10一、系统的微分方程概念及分类微分方程：在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是最基本的数学模型。系统的数学模型—系统的微分方程线性系统非线性系统系统线性定常系统线性时变系统河南理工大学机械与动力工程学院11线性系统系统的数学模型能用线性微分方程描述。微分方程的系数为常数微分方程的某一（些)系数随时间的变化。线性时变系统：线性定常系统：)()()()(12txtytyktyk=+′+′′)()()()()()(12txtytytktytk=+′+′′系统的数学模型—系统的微分方程线性系统特点：可以运用叠加原理。即系统在有多个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。河南理工大学机械与动力工程学院12线性系统系统的数学模型—系统的微分方程叠加原理:线性是指系统满足叠加原理，即：)()()(2121xfxfxxf+=+9可加性：)()(xfxfαα=9齐次性：)()()(2121xfxfxxfβαβα+=+或：河南理工大学机械与动力工程学院13线性系统系统的数学模型—系统的微分方程对于线性系统来说，状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。线性系统的状态变量(或输出变量)与输入变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程（离散情况下）来描述，这种方程称为系统的数学模型。作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：零输入响应和零状态响应。前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。两者可分别计算。这一性质为线性系统的分析和研究带来很大方便。河南理工大学机械与动力工程学院14线性系统系统的数学模型—系统的微分方程严格地说，实际的物理系统都不可能是线性系统。但是，通过近似处理和合理简化，大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。例如一个电子放大器，在小信号下就可以看作是一个线性放大器，只是在大范围时才需要考虑其饱和特性即非线性特性。线性系统的理论比较完整，也便于应用，所以有时对非线性系统也近似地用线性系统来处理。例如在处理输出轴上的摩擦力矩时，常将静摩擦当作与速度成比例的粘性摩擦来处理，以便于得出一些可用来指导设计的结论。从这个意义上来说，线性系统是一类得到广泛应用的系统。河南理工大学机械与动力工程学院15用非线性微分方程描述的系统称非线性系统，它不能使用叠加原理。221212222112)()()()()()();()()()(〕＋〔＋但是txtxtytytxtytxtytxty≠===非线性系统为解决非线性带来的问题通常采用局部线性化系统的数学模型—系统的微分方程河南理工大学机械与动力工程学院16$建立物理模型（包括力学模型、电学模型等），确定系统或元件的输入量和输出量；$按照信号的传递顺序，根据各元件或环节所遵循的有关定律建立各元件或环节的微分方程；$消去中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程；$整理为标准式，将与输出量有关的各项放在方程的左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。系统的数学模型—系统的微分方程二、系统的微分方程的列写方法河南理工大学机械与动力工程学院17解：引入中间变量x，根据牛顿定律有：()()()⎩⎨⎧=−−=−oooixkxxcxxckxx21&&&&消除中间变量x，有：()iiooxkxcxkkxc121+=++&&系统的数学模型—系统的微分方程实例分析1—求图示系统的微分方程河南理工大学机械与动力工程学院18实例分析2—滤波网络微分方程R2R1u1u2C1C2i1i2试求出：输出电压u2和输入电压u1为变量的滤波网络的微分方程系统的数学模型—系统的微分方程电工学知识点：电压的计算补充知识系统的数学模型—系统的微分方程河南理工大学机械与动力工程学院19电工学知识点：电压的计算CidtCQu3)∫==电容dtdiLu2)=电感iR=u1)电阻补充知识电工学知识点：电压的计算补充知识电工学知识点：电压的计算补充知识系统的数学模型—系统的微分方程河南理工大学机械与动力工程学院20克希荷夫电压定律：在网路中任意单一方向的闭回路，其电压之代数和为零。而这些电压，有些是电压源；有些则是由被动元件所产生。就直流电阻电路而言，被动元件所产生之电压为V＝IR，而回路之方向，若是进入元件电压的负端，则在电压定律之代数和中，此元件电压取负值。电路方程式:04321=++++−vvvvE回路之方向若改为逆时针方向，则仅将每一电压之符号改变即可。一般来说，为分析方便起见，回路之方向通常与正电流之方向相同。系统的数学模型—系统的微分方程Ev1v2v3v4河南理工大学机械与动力工程学院21二个或二个以上的电路元件连接时，其连接点成为节点（node）。其中，只有二个元件所构成的节点成为单节点（simplenode）；而三个以上的元件所构成的连接点称为主节点（principalnode）。在节点电压的分析方法中。各节点方程式即是利用克希荷夫电流定律于主节点上而求得。克希荷夫電流定律：流入任何节点之电流总和等于流出此节点的电流总和。此定律即是建立在电荷守恒的基础上。系统的数学模型—系统的微分方程i1i2i3123iii=+河南理工大学机械与动力工程学院22实例分析2—滤波网络微分方程R2R1u1u2C1C2i1i2试求出：输出电压u2和输入电压u1为变量的滤波网络的微分方程系统的数学模型—系统的微分方程系统的数学模型—系统的微分方程试求出：输出电压u2和输入电压u1为变量的滤波网络的微分方程河南理工大学机械与动力工程学院23()()()()()cudtiCbdtiiCdtiCRiaudtiiCRi22221122221211111111=−=+=−+∫∫∫∫解：设回路电流为i1、i2。根据克希霍夫电压定律有：消去中间变量：1222122112222211)(uudtduCRCRCRdtudCRCR=++++$微分方程的列写必须考虑系统的负载效应。$负载效应指物理环节之间的信息反馈作用，相邻环节的串联，应当考虑它们之间的负载效应。系统的数学模型—系统的微分方程河南理工大学机械与动力工程学院24不考虑负载效应，RC网络方程独立列写如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∫∫dtiCuuRidtiC11*21111111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∫∫dtiCuuRidtiC222*222221112222112222211)(uudtduCRCRdtudCRCR=+++消去中间变量：所得方程不能正确反映物理问题，因而方程有误。系统的数学模型—系统的微分方程河南理工大学机械与动力工程学院25实例分析3—电动机控制方程ωconsti=2试求出：输入电压ua和输出转角在干扰ML作用下的微分方程ω系统的数学模型—系统的微分方程设ua为电枢两端的控制电压，ω为电机旋转角速度，ML为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下，ua为给定输入，ML为干扰输入，ω为输出。系统中ed为电动机旋转时电枢两端的反电势，ia为电动机的电枢电流，M为电动机的电磁力矩。edM河南理工大学机械与动力工程学院26实例分析3—电动机控制方程ωconsti=2试求出：输入电压ua和输出转角在干扰ML作用下的微分方程ω$输入电压与电枢电流之间的关系：adaaaaueRidtdiL=++其中ed为与电机速度成正比的反向感应电压：ωddke=系统的数学模型—系统的微分方程$电磁力矩M与电枢电流成正比：amikM=$电动机转子的运动方程：LMMdtdJ−=ωedM河南理工大学机械与动力工程学院27LmdLmdadmdmdMkkRdtdMkkLukdtdkkJRdtdkkJL−−=++122ωωω消去中间变量ia：mmddmmdaCJTCkTkkRJTRL====1令：LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT−−=++ωωω22则上式可化为：电枢控制式直流电动机微分方程系统的数学模型—系统的微分方程河南理工大学机械与动力工程学院28三、微分方程的增量化表示取电机任意平衡态，则微分方程变量各阶导数为零：LmadMCuC−=ω此即为输入、输出之间的静态数学模型，因此有：000LmadMCuC−=ωua0,ML0,ω0为所取平衡状态下的具体数值。若某时刻输入量发生变化，LaMuΔΔ,输出量也会变化Δω，则，输入量和输出量可表示为：ωωωΔ+=Δ+=Δ+=000LLLaaaMMMuuu系统的数学模型—系统的微分方程河南理工大学机械与动力工程学院29代入微分方程，则有：()()()()()()0000000202LLmLLamaadmmaMMCdtMMdTCuuCdtdTdtdTTΔ++Δ+−Δ+=Δ++Δ++Δ+ωωωωωω000LmadMCuC−=ω平衡状态下：则有：LmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTTΔ−Δ−Δ=Δ+Δ+Δωωω22电动机任意平衡状态下的增量方程设各变量的平衡点为坐标零点，则可略去增量符号，则有系统的数学模型—系统的微分方程LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT−−=++ωωω22比较此式与实例2所得电动机微分方程河南理工大学机械与动力工程学院30四、非线性微分方程的线性化控制系统中非线性问题普遍存在，理论和分析方法又不成熟，怎么办？在一定条件下，将非线性