机械工程控制基础 3-时间响应(典型例题)

系统的时间响应—本章总结本章总结$系统稳定性与特征根实部的关系；本章重点$一、二阶系统的定义和基本参数，单位脉冲响应、单位阶跃响应，二阶系统的性能指标的定义与计算；$系统误差的定义，误差与偏差的概念及关系，稳态误差求法（利用终值定理）。本章难点$二阶系统单位脉冲响应和单位阶跃响应曲线的形状与振荡情况，性能指标与参数间的关系；$系统的输入、结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。河南理工大学机械与动力工程学院教学内容本章典型例题河南理工大学机械与动力工程学院实例分析1—稳态误差已知两个系统如图所示，当系统输入信号xi(t)＝4＋6t＋3t2时，试分析两个系统的稳态误差。)(sXo)(sXi)4()1(102++sss)(sXo)(sXi)4(10+ss（1）先将系统开环传递函数写成标准形式)14/(4/10)(+=sssGK)14/(4/)1(10)(2++=ssssGK河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析（2）计算稳态误差0,4/10,===∞=aVPKKKK4661sssspVaeKKKε==++=∞+4/10,,=∞=∞=aVPKKK4662.41ssPVaeKKK=++=+随动控制系统如图所示，输入信号r(t)＝at（a为任意参数）。试证明通过适当地调节Ki的值，该系统对于斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。实例分析2—稳态误差)(sY)(sR)1(+TssK1+sKi河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析解：系统闭环传递函数KTsssKKsRsYi+++=)1()1()()()()1()1()(sRKTsssKKsYi+++=稳态误差的拉氏变换为：)()()()(221sRKsTssKKsTssYsRsEi⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+=−=222010lim)(limsaKsTssKKsTssssEeissss⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+==→→由拉氏变换的终值定理：KKKaKsTsKKTsaiis)1(1lim20−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+=→要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为0，必须满足（1－KKi）＝0，即Ki＝1/K。河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析系统稳态偏差(误差)决定于输入Xi(s)和开环传递函数G(s)H(s)，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)=1/Ts求其在单位阶跃输入、单位单位速度输入、单位加速度输入以及正弦信号sinωt输入下的稳态误差。河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析实例分析3—稳态误差解：该单位反馈系统在输入作用下误差传递函数为：1)(11)(+=+=ΦTsTssGse在单位阶跃输入下的稳态误差为：011lim)()(11lim00=+=+=→→sTsTsssXsGsesisss在单位速度输入下的稳态误差为：TsTsTsssXsGsesisss=+=+=→→20011lim)()(11lim在单位加速度输入下的稳态误差为：∞=+=+=→→30011lim)()(11limsTsTsssXsGsesisss河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析sinωt输入时：))(1()()(11)(22ωω++=+=sTsssXsGsEi由于上式在虚轴上有一对共轭极点，不能利用拉氏变换的终值定理求稳态误差。tTTtTTeTTteTtωωωωωωωωsin1cos11)(22222222+++++−=−对上式拉氏变换后得：tTTtTTtessωωωωωωsin1cos1)(222222+++=稳态输出为：河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析拉氏变换终值定理使用充要条件:当E(s)是有理函数时，sE(s)的极点全在s平面左半面而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得到错误得结论：01lim220=++=→ωωsTsTssesss此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差也不相同。河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析实例分析4—高阶系统已知系统的闭环传递函数为：65234651024.6104.480001001025.61012.3)()()(×+×+++×+×==ΦssssssXsXsio求系统近似单位阶跃响应。解：系统闭环传递函数的零极点形式为：)4.7110)(4.7110)(60)(20()03.20(1012.3)(5jsjsssss−++++++×=Φ-10-20-20.03-6071.4-71.40jωσ河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析由系统零极点分布图可见，零点z1＝-20.03和极点p1＝-20构成一对偶极子，可以消去，共轭复数极点p3,4＝-10±j71.4与极点p2＝-60相距很远，p3,4为系统的主导极点，p2对响应的影响可以忽略，从而系统简化为：3235102.520102.5)4.7110)(4.7110(601012.3)(×++×=−+++×≈Φssjsjss系统的近似单位阶跃响应为：0),43.14.71sin(01.11)(10≥+−≈−ttetxtoωn=72.11rad/s，ξ=0.139河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析-10-20-20.03-6071.4-71.40jωσtxo(t)0原系统等效二阶系统单位阶跃响应txoδ(t)0-10±j71.4-60-20瞬态输出分量河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析已知系统的单位阶跃响应为：ttoeetx10602.12.01)(−−−+=求：1）系统的闭环传递函数；2）系统阻尼比ξ和无阻尼固有频率ωn。解：1）ssXi1)(=)10)(60(600102.1602.01)]([)(++=+−++==sssssstxLsXoo实例分析5—二阶系统河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析60070600)10)(60(600)()()(2++=++==ΦsssssXsXsio2）对比二阶系统的标准形式：2222)(nnnsssωξωω++=Φ⎩⎨⎧==7026002nnξωω⎩⎨⎧≈≈429.1/5.24ξωsradn有：河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析某系统传递函数为：为了将调节时间减小为原来的1/10，同时系统维持原有的增益，采用增加负反馈的办法，改造后的系统方框图如下。试确定参数K1和Kh的取值。G(s)Xi(s)Xo(s)K1Kh15.020)(+=ssG河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析实例分析6—一阶系统解：期望的系统闭环传递函数为：105.020110/5.020)(+=+=Φsss引入负反馈后，系统闭环传递函数为：12015.0201202015.020)(1)()(111+++=++=+=ΦsKKKKsKsGKsGKshhhh对比上述两式，求得：Kh＝0.45；K1＝10河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析解：1）单位阶跃输入时已知系统传递函数：求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。2)1(12)(++=sssG11)1(11)1(12)()()(22+−++=++==sssssssXsGsXio从而：ttooetesXLtx−−−+==1)]([)(2）单位脉冲输入时，由于)](1[)(tdtdt=δ因此：ttooteetxdtdtx−−−==2)()(1δ实例分析7—一阶系统河南理工大学机械与动力工程学院系统的时间响应—系统误差分析