机械工程控制基础4-频率特性

机械工程控制基础2011.10主讲人：张燕机械类专业必修课机械动力工程学院教学内容1、课程准备7、系统的性能指标与校正2、绪论4、系统的时间响应分析3、系统的数学模型5、系统的频率特性分析6、系统的稳定性分析教学内容第一讲控制系统的频率特性一、频率特性引入的目的及重要性系统的频率特性—频率特性概述1）引入目的：将传递函数从复域引到频域来分析系统特性.系统的频率特性—频率特性概述2）重要性：建立起系统的时间响应与频谱、单位脉冲响应与频率特性之间的直接关系。沟通时域与频域中对于系统的分析与研究。任何信号可分解为叠加的谐波信号。可通过系统频率特性分析，研究系统的稳定性与响应的快速性与准确性。对于复杂的系统或环节，可通过实验方法求频率特性，进而求出传递函数。设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入正弦信号，保持幅值不变，增大频率Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:结论：给稳定的系统输入一个正弦信号，其稳态输出是与输入同频率的正弦信号，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。40不系统的频率特性—频率特性概述系统的频率特性—频率特性概述二、频率响应与频率特性1.频率响应定义：线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应。)(sin)()(ttXtxootXtxiisin)()()(G(s)Xi(s)Xo(s))(sin)()(tXtxootXtxiisin)(根据微分方程解的理论，若对系统输入一谐波信号xi(t)=Xisinωt，系统的稳态输出响应也为同一频率的谐波信号，但幅值和相位发生了变化。系统的频率特性—频率特性概述线性系统系统的频率特性—频率特性概述实例分析1系统传递函数：1)(TsKsGtXtxiisin)(系统输入函数：22)(sXsXii则：2222222222222111111)()()(sTKXssTTKXTsTTKXsXTsKsXsGsXiiiiio)arctansin(11)cos(sin11)(22/2222/22TtTKXeTKTXtTtTKXeTKTXtxiTtiiTtioT21T1瞬态分量稳态分量2222222222222111111)()()(sTKXssTTKXTsTTKXsXTsKsXsGsXiiiiio)arctansin(11)cos(sin11)(22/2222/22TtTKXeTKTXtTtTKXeTKTXtxiTtiiTtio系统的频率特性—频率特性概述TTKXXioarctan)(1)(22则，幅值为：相位为：)arctansin(1)(22TtTKXtxio由传递函数可知，-1/T是G(s)的极点，也是系统微分方程的特征根si，由于si为负值，所以系统是稳定。随着时间的推移，当t→∞时，瞬态分量迅速衰减至零，系统的输出x0(t)即为稳态响应。所以，系统的稳态响应为：系统的频率特性—频率特性概述显然，频率响应只是时间响应的一个特例。不过，当谐波的频率ω不同时，幅值X0(ω)与相位φ(ω)也不同。这恰好提供了有关系统本身特性的重要信息。从这个意义上说，研究频率响应或者研究下面将要介绍的频率特性就是在频域中研究系统的特性。系统的频率特性—频率特性概述三、频率特性与传递函数的关系若系统的微分方程为：)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(txbtxbtxatxbtxatxatxatxaiimimmimoononnon..……则系统的传递函数：……01110111)()()(asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmiotXtxiisin)(输入信号为谐波信号：22)(sXsXii系统输出为：……2201110111)(sXasasasabsbsbsbsXinnnnmmmmo系统的频率特性—频率特性概述若系统无重极点：jsBjsBssAsXniiio*1)(nitjtjtsioeBBeeAtxi1*)()(则系统的输出：式中，si为特征根；Ai、B、B*（B与B*共轭）为待定系数。对于稳定系统而言，系统的特征根si均具有负实部，则上式中的瞬态分量，t→∞，将衰减为零，系统x0(t)即为稳态响应，故系统的稳态响应为tjtjoseBBetx*)()())(()(limjsjsjsXsGBijsB值由留数定理：jXejGjXjGijGji2)(2)()(同理，)())(()(lim*jsjsjsXsGBijsjXejGjXjGijGji2)(2)()(系统的频率特性—频率特性概述由B、B*求得系统的稳态响应为：)](sin[)(jGtXjGijeeXjGtxtxjGtjjGtjiotos2)()(lim)()]([)]([故频率特性为：)()()()()()(jGjGXXAiotjtjotoseBBetxtx*0)(lim)(nitjtjtsioeBBeeAtxi1*)()(系统的频率特性—频率特性概述将G(jω)与G(s)比较不难看出，G(jω)就是G(s)中的s=jω时的结果，是ω的复变函数。显然，频率特性的量纲就是传递函数的量纲，也是输出信号与输入信号的量纲之比。jvujG由于G(jω)是一个复变函数，故可写成实部和虚部之和，即：式中，u(ω)是频率特性的实部，称为实频特性；v(ω)是频率特性的虚部，称为虚频特性。四、频率特性的求法1.频率响应频率特性从x0(t)的稳态项中可得到频率响应的幅值和相位。然后，按幅频特性和相频特性的定义，就可分别求得幅频特性和相频特性。221)()(sXsGLtxio22)(sXsXii由)arctansin(1)(22TtTKXtxio例如：前面的例子稳态响应为：根据频率特性的定义：TTKXXAioarctan)(1)()(22TjeTKarctan2212.传递函数频率特性系统的频率特性就是其传递函数G(s)中用复变量jω替换s，也称G(jω)为谐波传递函数。例如：1)(TsKsG已知传递函数则频率特性为TjeTKjTKjGarctan2211)(因此TTKjGAarctan)(1)()(22=∠G(jω)系统的频率响应为：)arctansin(1)](sin[)()(22TtTKXjGtjGXtxiio3.用试验方法求解条件：不知道传递函数或微分方程等数学模型。步骤1：改变输入谐波信号Xiejωt频率的频率ω，并测出与此相对应的输出幅值Xo(ω)与相移φ(ω).步骤2：作出幅值比Xo(ω)/Xi,对频率ω的曲线，此即幅频特性曲线；步骤3：作出相移φ(ω)对频率ω的曲线，此即相频特性曲线；频率特性系统传递函数微分方程jspjpsdtdp系统的频率特性—频率特性概述4.频率特性的特点和作用（1）由)()()(sXsGsXio)()()(jXjGjXio当)()(ttxi时)()(twtxo并且1)]([)(tFjXi所以)()(jGjW即)()]([jGtwF这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应的傅立叶变换。对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。系统的频率特性—频率特性概述时间响应主要用于分析线性系统过渡过程，以获得系统的动态特性，而频率特性分析则通过分析不同频率的谐波输入时系统的稳态响应，获得系统的动态特性；在研究系统的结构和参数的变化对系统性能的影响时，在频域中分析比在时域中容易。根据频率特性，方便判断系统稳定性好稳定性储备，参数选择和系统校正，使系统尽可能达到预期的性能指标；对高阶复杂线性系统的性能分析比较方便；某些频带干扰严重时，采用频率特性可以设计出合适的通频带，拟制噪声的影响；缺点：系统非线性产生的误差及应用的局限性(难应用于时变系统和多输入-多输出系统，等等)。系统的频率特性—频率特性概述例1图示电路，设输入端的电压为e(t)=Esinωt，求通过电阻R的稳态电流i(t)。解：根据克希荷夫定律，有：eidtCRidtdiL1故传递函数为：2111IsCsGsEsLCsRCsLsRCs系统的频率特性为：jRCLCjCjG21幅频和相频特性为：LCRCjGCRLCCjG1arctan90122根据频率特性的定义有：LCRCarctatCRLCECLCRCarctatCRLCECti1cos1190sin12222o)](sin[)()(0jGtXjGtxi系统的频率特性—频率特性概述例2设输入信号为x(t)=2sint，测得输出为y(t)=4sin(t-45˚)，若系统传递函数如右式所示，求该系统的参数ξ和ωn。2222nnnsssG系统的频率特性为：nnnjjG2222幅频和相频特性为：22222222arctan2nnnnnjGjG系统的频率特性—频率特性概述将ω=1及有关已知条件代入以上二式得：4512arctan22122222nnnnn将以上二式联立求解得：22.0244.1n系统的频率特性第二讲频率特性的图示方法—极坐标图(Nyquist图)系统的频率特性—Nyquist图一、频率特性的极坐标图概念说明：极坐标图：Nyquist图或幅相频率特性图。奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年提出基于极坐标图方法以阐述反馈系统稳定性的问题。研究目的：利用直观曲线图形表达系统频率特性。特点：利用图解法表示幅值、相角随输入信号频率变化的几何关系。n321)(1jGImRe0)(1jG二、典型环节的Nyquist图系统的频率特性—Nyquist图系统的频率特性—Nyquist图系统的频率特性—Nyquist图系统的频率特性—Nyquist图系统的频率特性—Nyquist图系统的频率特性—Nyquist图系统的频率特性—Nyquist图小结：1.频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应2.频率特性：将传递函数G(s)中的s转换为jw即：G(jw)包括：3.频率特性的表示方法：(2)图示表示方法——Nyquist图（极坐标图）典型环节的nyquist图：(1)比例环节(2)积分环节(3)微分环节(4)惯性环节(5)一阶微分环节(6)振荡环节(7)延迟环节系统的频率特性—Nyquist图ω=1/T,U(ω)=V(ω)=-KT/2,｜G(jω)｜=KT/2,∠G(jω)=-900-450系统的频率特性—Nyquist图系统的频率特性—Nyquist图实例分析3已知系统的传递函数，试绘制Nyquist图。)()1()1()(2121TTsTssTKsG系统的频率特性为：)1()1(1)()1()1()(2222212222121TTTKjTTTKjTjjTKjG幅频特性：212221()1KTGjT