机械工程控制基础教案-第三章

第三章系统的时域分析数学模型性能分析：稳、快、准等时域分析法根轨迹法频率法微分方程时间响应表达式曲线性能分析本章内容一.系统的时间响应及其组成（一）二.典型的输入信号三.对一阶、二阶、高阶系统的典型时间响应进行分析四.分析性能指标（时域）（二）五.系统误差分析与计算直观§3-1时域响应及典型输入信号一.时域响应在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过程()oxt。11()()()()oOixtLXsLGsXs1.瞬态响应和稳态响应：输入引起的时间响应由瞬态和稳态两部分组成。图3.1k-m-c系统mFsinwt图3.2受力分析例3.1：sinmycykyFt2,2nkfmmk令22sinnnFyyytm非齐次常微分方程的完全解：2()sin(1)sin()ntnytAetBt自由衰减震荡受迫振动瞬态响应稳态响应瞬态响应系统在某一输入信号的作用下，其输出量从初始状态稳定状态的响应过程。（过渡过程）kycy稳态响应当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。（静态）2.系统的时域响应分析在时间域内，研究各种形式的输入信号作用下，系统输出响应的时间特征，即对系统施加一定形式的输入信号，然后研究系统的输出量随时间的变化规律。二、典型的输入信号1.阶跃函数（图3.3）,0()0,0iatxtt　　　1a时，单位阶跃函数xitaxit图3.3阶跃函数图3.4斜坡函数2.斜坡函数（图3.4）0()0,0iattxtt，1a时，单位斜坡函数3.加速度函数（图3.5）2,0()0,0iattxtt　　　12a时，单位加速度函数xitxitt0a/t0图3.5加速度函数图3.6脉冲函数4.脉冲函数（图3.6）00lim,0()0,00iatttxtttt　　或　1a时，单位脉冲函数5.正弦函数（图3.7）sin,0()0,0iawttxtt　　　OiXsXsGs当iXttrOoGsXsLxtoxt脉冲响应函数图3.7正弦函数输入信号的选择应视不同系统的具体工作状况而定：1）若输入量是随时间逐渐变化的函数，如机床、雷达天线、火炮等，选斜坡函数2）若输入量是冲击量，如导弹发射等，选脉冲函数3）若输入量随时间往复运动，如机床振动，选正弦函数4）若输入量是突然变化的，如断电、合电等，选阶跃函数§3.2一阶系统的时域响应一阶系统：能够用一阶微分方程描述的系统。典型形式：一阶惯性环节0()1()1iXsXsTs一、一阶系统的单位阶跃响应rM()1ixt1()iXss1211(1)STSTCXSTsTs0111()11TXsTsssTs111ssT0()1tTxte0()1tTxte表3-1单位阶跃响应t0T2T3T4T5T…….0()xt00.6320.8650.950.9820.993…….1图3.8一阶系统的单位阶跃响应曲线可知：（1）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡的。（2）时间T上升到0.632的高度，反之，用实验方法测出曲线到达63.2%高度点所用的t=时间常数T。（3）经过3T4T，达稳态值的95%98%，可认为其调整过程完成，故一般取调整时间为（34）T=ts.（4）在t=0处，响应曲线的切线斜率：1/T.时间常数T反映了一阶系统的固有特性,T,系统惯性,系统响应二、一阶系统的单位脉冲响应ixtt1ixS011T11TS1S+TxST01Ttxte表3.2一阶系统的单位脉冲响应表t0T2T4Tr1T10.368T10.135T10.018T0X0(t)t1/T0.368/TT2T3T4TK=-1/T2w(t)图3.9响应曲线2%,4Tst过渡过程;调整时间T,过渡时间，快速性三、一阶系统的单位斜坡响应211001S11SSCXSTS,ixtt21SSix21220001S11SSSddTCXSTdsdsTSTS20222111TT1TTSTS+1SSSTS+1SSS+1/TxmaxrMA2221/1/1(s+1)STSTCXSTTS,t0,xt0()iexxTX0(t)t1/T0.368/Te(∞)=TX0(t)=t-T+Te-t/TXi(t)=t图3.10响应曲线瞬态响应的特性反应系统本身的特性，T响应速度。输入试验信号是为了识别系统的特性，系统特性取决于系统的参数，不取决于外作用的形式。例3.2两个T值不同的惯性环节串联，求其单位阶跃响应，已知011G(S)1011ixSxSSS=。解：0xS1111110.0991011S1011SSSSS1L1001110.099ttxteeX0(t)t321jwσ××s2s1[S]图3.11响应曲线示意图图3.12极值分布图系统响应取决于T，T值小，对响应影响小。靠近虚轴的极点起主导作用。§3.3二阶系统的时域响应二阶系统：由二阶微分方程描述的系统。许多高阶系统常近似为二阶系统来研究，所以具有重要意义。一.典型的二阶系统的数学模型2022:2nninnxSGSxSSS阻尼比：无阻尼固有频率0令上式分母，得二阶系统的特征方程：2220nnSS242bbacx212S1nn，极点：222224244(1)nnnbacwww22(1)nw222(1)0nw2122(1)01,S11nndnj，欠阻尼有阻尼固有频率欠阻尼情况下系统的时间响应具有震荡特性。系统的响应12(2)1,S()nn，临界阻尼，一对负实根均无振荡212(3)1,S1()nn，过阻尼，负实根jwσ××s2s1[S]jwd-jwd-ξwnjwσ×s2s1[S]-wn(a)(b)jwσ×s2s1[S]×jwσ×s2s1[S]wn×(c)(d)图3.13复数域极值分布图12(4)0,S()nj，零阻尼，一对纯虚根此时系统的时间响应为持续的等幅振荡。二阶系统的响应特性完全由和n来描述。二、二阶系统的单位阶跃响应202211,[]112iinnnxtLxtSxSGSSSSS1.01,当欠阻尼212S1nnndjj，22022112nnnnndndxSSSSSjSjS22221nnndndSSSS2121rM021cossin1nnttddxtetet即：20211sinarctan1ntdextt或：dt随第二项是瞬态项，以为角频率的减幅震荡函数，它的振幅随图3.14二阶系统的单位阶跃响应曲线.２当＝１时，临界阻尼222222nnnnnSSSSＧ2022111nnnnnxSSSSSS101nnttLnxtteeX0(t)tξ=11ξ1图3.15响应曲线图3.1,当过阻尼212S1nn，2022111nnnnnXSSSS22222211211211111nnnnSSS2211102222111211211nnttLxtee如上图，系统无超调，且过渡过程时间较长。4.0.当零阻尼2022ninxSGSxSS20222211ninnSxSGSxSSSSS101cosLnxtt可见：系统为无阻尼等幅振荡（1）欠阻尼的阶跃响应为衰减振荡，21,,dnd振荡幅度（2）临界阻尼和过阻尼系统的阶跃响应均无超调，st，过渡时间（3）欠阻尼，~1ss=0.40.8，tt且振荡不太严重。（4）根据给定的性能指标设计系统时，通常选二阶。二阶系统容易获得st，且满足振荡性能要求三、二阶系统的单位脉冲响应020221W2iininnxttxSxttSxSGSxSGSSS单位脉冲响应1.01:当时欠阻尼系统222W1dnndSS12sin1ntLndtetddn以为角频率的衰减振荡，，振荡幅度，衰减逾慢，振荡频率其幅值衰减的快慢取决于222222.0W=++sinnnnnnnnSSStt无阻尼系统2222223.1W=+2++nnnnnntnSSSStte临界阻尼系统21,24.11nnS过阻尼系统222222X+2++1+1nnnnnnnnSSSSS22222121+1+1nnnnnnSS22112[]21nnttnxtee系统无超调§3.4瞬态响应的性能指标一.系统性能指标，可以在时域里提出，也可在频域里提出（时域内的指标比较常见）对于具有储能元件的系统（1n的系统）受到输入信号作用时，一般不能立即反映，一般表现出一定的过渡过程。二阶系统最为普遍，瞬态响应过程往往以衰减振荡的形式出现。时域性能指标是以欠阻尼二阶系统对单位阶跃输入的瞬态形式绘出的。选单位阶跃输入：（1）产生阶跃输入较容易，且从系统对单位阶跃输入的响应也较易求得任何输入的响应。（2）实际中，许多输入与阶跃输入相似，且阶跃输入往往是最不利的输入。图3.16瞬态响应的性能指标00::0.90%rttttxx瞬态响应的性能指标：（1）上升时间达到稳态值无超调：（理论上）实际定义：10%00(2)::0(4)::pppsssrpptttMxtxtNttttMN峰值时间峰值（第一个）(3)最大超调量:%调整时间响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间(5)振荡次数在调整时间内响应曲线振荡的次数。、、反应快速性以上性能指标：、反应相对稳定性一下以欠阻尼二阶系统的时域性能指标为例加以说明。0021...1.1cossin11nrtrrrrdrdrtttxtxtett上升时间：由定义2cossin001nnttdrdrette又rM21arctan23,...drt令知：，，0rdrtxtt是第一次达稳态值的时间，故取2211arctan1rdnt.nrnrtt知：当一定时，，；当一定时，，02.:0ppttdxttdt峰值时间02221co