机械工程控制基础第5章控制系统稳定分析

分析控制性能的主要途径第5章控制系统稳定分析控制系统正常工作的首要条件是系统稳定。一个不稳定的系统是不能正常工作的，当然更谈不上高质量地工作了。研究系统的稳定性是控制理论的首要问题。经典控制理论对于判定系统是否稳定提供了多种方法，本章着重讨论几种线性定常系统的稳定性判据及其使用。第5章控制系统稳定分析5.1概述5.1.1控制系统稳定的基本条件如果系统在受到扰动作用时将偏离稳定平衡状态，当扰动消除后，系统能够以足够的精度逐渐恢复到原来的稳定平衡状态，则称系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。(a)(b)AA5.1概述5.1.1控制系统稳定的基本条件系统的稳定性还可以分为大范围稳定和小范围稳定两种情况。如图5-2所示，在图(a)中小球偏离稳定点，如果不论偏离多大的范围，小球最终都能回到A点，即为大范围稳定。XX(a)(b)AA定义若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随着时间的推移偏差逐渐衰减并趋近于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统是稳定的。系统的稳定性是指自动控制系统在受到扰动作用使平衡状态破坏后，经过调节能重新达到平衡状态的性能。即系统是稳定的系统是不稳定的。0Δc(t)limt5.1概述5.1.1控制系统稳定的基本条件描述线性系统动态特性的微分方程为系统稳定性的数学含义是指系统去掉扰动时的动态过程，即当方程右边为零时（即齐次方程），是否收敛。)()()()()()()()(011)1(1011)1(1txbdttdxbdttxdbdttxdbtxadttdxadttxdadttxdaiimimmmimmoononnnonn)(txo0)()()()(011)1(1txadttdxadttxdadttxdaoononnnonn当时间t→时，存在，系统稳定。0)(limtxot5.1.2控制系统稳定的充要条件5.1.2控制系统稳定的充要条件线性闭环系统是否稳定，是系统本身的一种特性，与系统输入量无关。因此，假设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲，这时系统的输出增量为脉冲响应c(t)。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离平衡状态。若时，脉冲响应。对应上式的拉氏变换特征方程。)(tt0)(limtct0111011)()()()()(asasasabbssbsbsDsMsRsCsnnnnmmmm00111asasasannnn因式分解得有n个根，k个实数根，2r个复数根。上式的反拉氏变换，有00111asasasannnn0)]([)(11iiriikijssci5.1.2控制系统稳定的充要条件kiiiriiittiotBtAeectxii11)sincos()(只有当实数根λi，复数根的实部σi为负值时，有，系统稳定。否则系统是不稳定的。0)(limtxot线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于s平面的左半部。下图给出了s平面上闭环极点（特征根）的位置与稳定性的关系。5.1.2控制系统稳定的充要条件ImRe[S]1234566个根均在虚轴的左侧，所以该系统是稳定的。系统稳定性的判定方法可总结如下1.劳斯-赫尔维茨（Routh-hurwitz）判据代数判据方法。根据系统特征方程式判断特征根在s平面的位置。2.根轨迹法图解求特征根的方法。根据系统开环传递函数，以某一参数做出闭环系统的特征根在s平面的轨迹。3.奈奎斯特（Nyquist）判断复变函数的方法。根据系统开环的频率特性确定闭环系统的稳定性。4.李雅普诺夫方法根据李雅普诺夫函数的特征确定稳定性，适用于线性和非线性系统。系统稳定性的判定方法可总结如下直接方法求解特征方程式的根。由上述系统稳定性充要条件来判定系统的。当阶次高于4，根的求解就很困难。间接方法间接分析方法通常有代数稳定判据法、频域稳定判据法等。•（1）代数稳定性判据，也称劳斯-霍尔维茨稳定性判据；•（2）频率稳定性判据，也称奈奎斯特稳定性判据。•(3)根轨迹法，特征方程根在s平面的变化轨迹，图解法分析稳定性。频域法分析系统稳定性不仅能分析系统的稳定性，也能方便地分析系统的相对稳定性。特征方程的根与方程式的系数有关，所以使系统特征方程具有负实根或负实部的复数根的必要条件是特征方程的各项系数均存在，且都大于零。必要条件1.0系数大于零。2.正负号相同。劳斯稳定判据(RouthCriterion)赫尔维茨稳定判据(HurwitzCriterion)不求特征方程的根，由特征方程式中已知的系数，间接判别出方程的根是否均为具有负实部的复数根或负实根，从而判定系统是否稳定。5.2代数稳定性判据（Routh劳斯准则）nniai,1,2,1,0nniai,1,2,1,0特征方程将其系数排列成劳斯表03322110nnnnnasasasasa1011212314171213151112131331706121504111302125311420gsfseescbbaabcbbaabcbbaabsbaaaaabaaaaabaaaaasaaasaaasnnnn5.2代数稳定性判据5.2.1劳斯(Routh)稳定性判据劳斯稳定性判据：（1）系统稳定必要条件为系统特征方程式的全部系数大于零，且不缺项；（2）系统稳定充分条件为由系统特征方程式系数组成的劳斯表第一列全部大于零。例1系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解从系统特征方程看出，它的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。列写劳斯阵列表如下432ssss61211601126611061/66455/6106第一列系数均为正实数，故系统稳定。事实上，从因式分解可将特征方程写为其根为2，3，，均具有负实部，所以系统稳定。(s+2)(s+3)(s2+s+1)=013j220s1s2s3s4s例2已知系统特征方程式为解列劳斯阵列表12531659（各系数均已乘3）-1115（各系数均已乘5/2）174（各系数均已乘11）15劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。由于第一列系数的符号改变了两次(5→－11→174)，所以，系统特征方程有两个根的实部为正。54320sssss32565s4s3s2s1s0s5.2代数稳定性判据5.2.1劳斯(Routh)稳定性判据（1）劳斯阵列表中某一行元素为零，但该行其余元素不全为零，则在计算下一行元素时，该元素必将趋于无穷，劳斯阵列表的计算将无法进行。这时可用一个很小的正数来代替第一列等于零的元素，然后继续计算劳斯阵列表的其他元素。（2）劳斯阵列表中某一行的元素全部为零，这时可利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并利用这个多项式方程的导数的系数组成劳斯阵列表的下一行，然后继续进行计算。劳斯(Routh)稳定性判据的两个特殊情况例3设系统特征方程为解劳斯阵列表为由于的上下两个系数(2和2)符号相同，则说明有一对虚根存在。上述特征方程可因式分解为有负实根，系统稳定。112222(1)()0ss20s1s2s3ss3+2s2+s+2=0例4系统特征方程为解劳斯阵列表为11610160辅助多项式10+16000↓求导数200构成新行20s+016032sss101616000s1s2s3s2s从上表第一列可以看出，各系数均未变号，所以没有特征根位于右半平面。由辅助多项式知道10s2+160=0有一对共轭虚根为±j4。例5特征方程式为解劳斯阵列表如下：13-426-8辅助多项式2s4+6s2-8000↓求导数8120构成新行8s3+12s3-8100/3-84240sssss5323680s1s2s3s4s5s劳斯阵列表第一列变号一次，故有一个根在右半平面。由辅助多项式：可得s1,2=±１，s3,4=±j2，它们均关于原点对称，其中一个根在S平面的右半平面。2s4+6s2-8=05.2.3劳斯判据的应用应用劳斯判据不仅可以判别系统稳定不稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。1.稳定裕量的检验如图所示，令即把虚轴左移1。将上式代入系统的特征方程式，得以z为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴(垂直线s=1)的右边。如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量1。s=z-1稳定裕量s1例6检验特征方程式是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s=-１的右边。解劳斯阵列表为21310412.24第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平面。再令s=z-1，代入特征方程式，得即320sss21013432(1)(1)(1)40zzz2101332410zzz23s2s1s0s则新的劳斯阵列表从表中可看出，第一列符号改变一次，故有一个根在直线s=-1（即新座标虚轴）的右边，因此稳定裕量不到1。2.分析系统参数对稳定性的影响设一单位反馈控制系统如图3-34所示，其闭环传递函数为系统的特征方程式为z32-1z24-1z1-1/2z0-1()()()(1)()BCsKGsRssssK5320sssK65求K的范围，使系统稳定列写劳斯阵列表：s315s26Ks1s0KK306若要使系统稳定，其充要条件是劳斯阵列表的第一列均为正数，即K0，30-K0所以0K30，其稳定的临界值为30。由此可以看出，为了保证系统稳定，系统的K值有一定限制。但是为了降低稳态误差，则要求较大的K值，两者是矛盾的。为了满足两方面的要求，必须采取校正的方法来处理。例7系统特征方程式为按稳定要求确定T的临界值。解劳斯阵列表为s41T100s3210s2T-5100s1s0100s4+2s3+Ts2+10s+100=0TT102505由劳斯阵列表可以看出，要使系统稳定，必须T-50，TT102505＞０即必须T25系统才能稳定。285.3频域稳定判据奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性与复变函数位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。由于系统的开环特性可用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。)()(jHjG)()(1)(sHsGsF1928年,提出著名的奈奎斯特采样定理；1932年,提出著名的奈奎斯特稳定判据；美国有138项专利，涉及电话、电报、图像传输系统等。乃奎斯特（H.Nyquist)美国Bell实验室著名科学家1889~1976伯德（H.W.Bode)，1905~1982，美国Bell实验室著名科学家315.3频率稳定性判据•利用开环频率特性曲线来判断闭环系统的稳定性，不仅避免了求取闭环特征根的繁琐，还有利于研究系统的结构和参数的改变对稳定性的影响，同时还能够对带有延迟环节的系统的稳定性作出判别，并且稍加推广可用来研究非线性系统的稳定性。•奈奎斯特稳定性判据既可以利用系统开环幅相特性曲线(奈奎斯特曲线，或称称极坐标图)，也可以利用系统开环对数频率特性曲线(伯德图)来判断闭环系统的稳定性。1实根一阶方程当ω变化时，D1(jω)端点沿虚轴滑动，其相角相应发生变化。5.3.1米哈伊洛夫定理5.3频率稳定性判据00111asasasannnnD(s)特征方程根只存在三种情况：零根、实根和共扼复根pjjDpssD