评价一个一对一补充策略下的多层库存系统的性能

1Mana.Sci.评价一个一对一补充策略下的多层库存系统的性能AntonySvoronos&PaulZipkin（牟德一编译）摘要本文讨论了多层库存系统。每一个需求引起一个单独的订货（一对一补充策略）。外部需求是相互独立的泊松过程。设施之间的转移时间可能是随机的。对转移时间的建模的方法严格遵守在单设施模型中随机时间的标准处理。然而，这与通常的多层方法是不同的。（如METRIC）我们描述了计算和近似这个系统的稳态特性的若干简单方法。结果表明，与以前的多层模型形成强烈对比的是，转移时间变量在系统性能上起重要作用。关键词库存/生产多层发出（货）策略1．引言本文讨论的多层库存系统的模型（用树状图表示）——有根树。结点（代表设施），弧（前驱）在根（中心仓库DC）处的订货从外部渠道获得，在叶（最底层）处外部需求产生。图一一个多层系统假定：叶上的需求是相互独立的泊松过程；每个设施的库存采用（s-1,s）策略或一对一补充策略，含一个整数参数s0代表基础库存水平，初始时，设施的库存水平等于其基础库存水平。系统运行过程。从一个结点（设施）发出的货物抵达其目的地（下一个结点）的时间——转移时间，由于运输和处理的原因，可能随机。这是一个标准的多层系统，新颖之处在于我们对转移时间的建模方法。在早期的研究中，发生在每一边上的转移时间或者被假定为常数或者是通用的、相互独立的、具有相同分布的随机变量。如…。我们的假设：网络中的每一弧代表某种转移系统，其状态确定了实际的转移时间；货物（units）在每一个转移系统中被依次处理，即队列遵守先进先出(FIFO)原则；每个转移系统是外部的，其状态与库存系统的需求与订货是无关的；考虑从外部供应商到一个叶的路径，在每一个边上的转移时间是相互独立的；每一个转移系统是各态历经(ergodic)的，因此，每一弧具有平稳转移时间分布。像METRIC模型预言，系统的性能依赖于平均转移时间，但对其分布是不敏感的。然而，在我们的模型中，转移时间变量直接影响大量的延迟订货。我们的模型着眼于转移时间与由于缺货导致的延迟之间的交互作用。这种强调整个提前期的部分，类似于其它近年来关于多层系统的研究。如….2．符号ji,结点号；)(Prje结点j的前驱（供应商）；iiSuc)(的后继的集合；2i=结点i处的外部需求率；ii处的总需求率)()()(iSucjjiiSuciSuciT结点i之前的转移时间iTTFi的分布律；决策变量：iS结点i处的基础库存水平，0iS；iD结点i处之后的延迟；jL结点j处总的提前期jjeTD)(PrjiLDFF,表示相应的分布；iI结点i处的库存iB结点i处的延迟订货iK结点i处的kena(未完成的订货)iiiBISkena“洞”（希腊语），最大库存与实际库存的差；相应的密度函数用iiiKBIggg,,表示；E(X),V(X)代表X的均值，方差。}0,max{][xx3．单设施分析本节中，省略了下标i假设在供应方无延迟，因此，整体提前期分布是TLFF。系统的稳态的表现取决于随机变量I、B和K=S-I+B其密度为KBIggg,,。我们也对在一个延迟订货上的一个需求需等待的时间感兴趣，称之为用户延迟，用D示之。分布DF关键结果如下：(a)随机变量K与提前期需求，在具有分布LF的一段随机时间内的需求数，具有相同的分布；(b)变量B与用户延迟需求，在具有分布DF的一段随机时间内的需求数，具有相同的分布。结果（a）与具有随机提前期的模型的标准处理相对应，见Hadley叄¬结果（b）似乎不被广泛认知，其证明在附录。用变换的方法来叙述：z变换、拉普拉斯变换))1((~)(~zFzgLK（1）))1((~)(~zFzgDB（2）大体上，我们可用这些结果对系统作如下分析：给定LF由（1）计算Kg~，然后，变换Kg~得到Kg，由K的密度，我们可容易地得到I,B的密度：][,][SKBKSI现在,可改写(2)为:/1(~)(~sgsFBD)(3)这样，可由Bg得到DF。这只是这一过程的一个框架，因为求变换的逆变换可能是困难的。以后将看到没有变换时这一方法的实现。3即使从这一简单情况亦可看到我们的模型与像METRIC的模型是不同的。主要区别是提前期变量对系统性能的影响，7中以数值例子说明。4．多层系统的作法可证明，单设施情形的结果可用于一般的多层系统。即，对每一个结点i，(a),(b)的结果在下标中插入一个i这样，（1）、（2）变为：（3）（4）递推地应用单设施过程，从根（最高一层）开始向下分析整个系统：5．一种两矩的近似法一种实现此过程的方法是选择一个方便的密度的参数族，用来近似iKg，在此过程中，每个iKg用拟合矩来确定。当然是一种近似法。为直观起见，用两参数、负二项分布族，在每一阶段可拟合两个矩。同样用来近似提前期分布。这一方法类似于GravesMETRIC模型。既然对每个结点的计算相同，连续地从上向下，仅需要描述在一个设施的计算。省略下标。此法基于下述矩之间的关系。直接由（1）、（2）得到：][][LEKE(6)][)]1([22LEKKE(7)][][DEBE(8)][)]1([22DEBBE(9)首先，假设已知][LE和][2LE（可以是近似值）由此计算出E[K].E[K(K-1)],V[K]。第二，用带参数n和p的负二项分布密度近似Kg，这里10,0pn为此，需求解2)1/(][),1/(][pnpKVpnpKE因此，pKEpnKVKEp/][)1(],[/][1第三，计算][SKB的矩，只需计算KKGg,。最后，用[8]、[9]的数计算][],[2DEDE由此得到V[D]。如果已分析了结点i,并且)(iSucj，则][][][],[][][jijjijTVDVLVTEDELE即可开始对结点j的计算。很显然，这一过程只需每个T的均值和方差，而不需完整的分布。6．状态型(phase-type)转移时间现在，假设每个T具有（连续）状态型分布，将看到第4节的过程在此精确完成。在描述这样的分布时，遵守Neuts(1981):),(~ACPHX离散状态型分布),(~PDPHN我们的T~CPH(.,.),L~CPH(.,.),B~DPH(.,.),D~CPH(.,.),K~DPH(.,.)可计算标准性能测量E[B],E[I]。7．数值说明本节，检验了一些简单情形的系统性能。主要目的是比较我们的相继转移时间模型和基于独立转移时间的模型。也检验了两矩法的近似程度。4考虑的系统只有两层：中心仓库直接供应给所有叶子，此处称零售商，并且，所有零售商是相同的。选择单性能测量，即每个零售商处的平均延迟订货。图显示，对于仓库的不同的三个库存水平，零售商的平均延迟订货是如何依赖于它的库存水平的，并且相继模型较之独立模型有较高的延迟订货；由于在仓库或零售商处有较高的基础库存水平，当延迟订货较小时，差别相对更明显。图2（a）基本系统，零售商基础库存水平（横坐标）、零售商平均延迟订货（纵坐标），曲线（实）相继、曲线（虚）独立。转移时间：指数；图2（b）转移时间：Erlang-4；图3（a）零售商需求=20；图3（b）转移时间：Erlang-4；图3（c）转移时间：Erlang-16；图4（a）40个零售商，指数分布；图4（b）Erlang-4；图6两矩近似法。8．提要与推广我们已经看到了对于基础库存水平Si的任何选择，如何计算和近似系统中每一设施i处的平均库存E[Ii]和平均延迟订货E[Bi]。现在，假设我们限制费用和（或）库存的容量和延迟订货，这些数据可用于构造一个整体的以Si为决策变量的费用优化模型。其细节类似，故略去。以上之模型可在几个方向作推广：我们曾假设外部需求仅发生在网络的叶上，现假设需求可发生在任何结点上。作法是：增设一个虚拟结点作为一个后继，转换外部需求到这个虚拟结点，令所有转移时间（从真实结点至新结点）为0，S=0。我们曾假设所有转移时间是外部的。可以证明，在从外部供应到中心仓库这一段上，可以去掉这个假设。作法为：略。1999年4月16日星期五METRIC模型允许复合的泊松需求，我们也可推广。见Zipkin(1988).