需求依赖广告费用和销售价格的狀犲狑狊犫狅狔型产品库存模型

书书书第２５卷第１期Ｖｏｌ．２５Ｎｏ．１控　制　与　决　策犆狅狀狋狉狅犾犪狀犱犇犲犮犻狊犻狅狀２０１０年１月　　Ｊａｎ．２０１０收稿日期：２００９０２０４；修回日期：２００９０４２９．基金项目：国家自然科学基金项目（７０７７１０３４）；新世纪优秀人才支持计划项目（ＮＣＥＴ０５０５５７）；高等学校全国优秀博士论文作者专项基金项目（２００５６５）；广东省教育厅人文社会科学重点研究基地重大项目（０８ＪＤＸＭ６３００３）．作者简介：汪峻萍（１９７５—），女，安徽黄山人，讲师，博士生，从事物流与供应链管理的研究；周永务（１９６４—），男，安徽庐江人，教授，博士生导师，从事物流与供应链管理等研究．　　文章编号：１００１０９２０（２０１０）０１００８９０４需求依赖广告费用和销售价格的狀犲狑狊犫狅狔型产品库存模型汪峻萍１ａ，周永务２，杨剑波１ｂ（１．合肥工业大学ａ．数学学院，ｂ．管理学院，合肥２３０００９；２．华南理工大学工商管理学院，广州５１０６４１）摘　要：在假定随机需求是关于销售价格和广告费用的一般函数的前提下，提出一个新的ｎｅｗｓｂｏｙ模型，给出了寻求最优广告费用、销售价格及订货量的分析方法，并且还分析了需求的不确定性对最优销售价格和广告策略的影响．最后，通过数值实例验证了模型的求解过程并得到相关管理启示．关键词：库存；ｎｅｗｓｂｏｙ模型；随机需求；价格；广告中图分类号：Ｏ２２７　　　　文献标识码：Ａ犐狀狏犲狀狋狅狉狔犿狅犱犲犾犳狅狉狀犲狑狊犫狅狔狋狔狆犲狆狉狅犱狌犮狋狊狑犻狋犺犱犲犿犪狀犱犱犲狆犲狀犱犻狀犵狅狀犪犱狏犲狉狋犻狊犻狀犵犲狓狆犲狀犱犻狋狌狉犲犪狀犱狊犲犾犾犻狀犵狆狉犻犮犲犠犃犖犌犑狌狀狆犻狀犵１ａ，犣犎犗犝犢狅狀犵狑狌２，犢犃犖犌犑犻犪狀犫狅１ｂ（１ａ．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１ｂ．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｎａｇｅｍｅｎｔ，ＨｅｆｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｅｆｅｉ２３０００９，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＢｕｓｉｎｅｓｓＡｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎ，ＳｏｕｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４１，Ｃｈｉｎａ．Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｔ：ＷＡＮＧＪｕｎｐｉｎｇ，Ｅｍａｉｌ：[e-mail]）犃犫狊狋狉犪犮狋：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｅｖｅｌｏｐｓａｎｅｗｎｅｗｓｂｏｙｍｏｄｅｌｕｎｄｅｒｔｈｅａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｔｈａｔｔｈｅｒａｎｄｏｍｄｅｍａｎｄｉｓａｇｅｎｅｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｔｈｅｓｅｌｌｉｎｇｐｒｉｃｅａｎｄｔｈｅａｄｖｅｒｔｉｓｉｎｇｅｘｐｅｎｄｉｔｕｒｅ．Ａｎａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄｆｏｒｆｉｎｄｉｎｇｔｈｅｏｐｔｉｍａｌａｄｖｅｒｔｉｓｉｎｇｅｘｐｅｎｄｉｔｕｒｅ，ｓｅｌｌｉｎｇｐｒｉｃｅａｎｄｏｒｄｅｒｑｕａｎｔｉｔｙ．Ｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｄｅｍａｎｄｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙｏｎｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｐｏｌｉｃｉｅｓｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄａｓｗｅｌｌ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｐｒｏｃｅｄｕｒｅ，ａｎｄｓｏｍｅｍａｎａｇｅｒｉａｌｉｎｓｉｇｈｔｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．犓犲狔狑狅狉犱狊：Ｉｎｖｅｎｔｏｒｙ；Ｎｅｗｓｂｏｙｍｏｄｅｌ；Ｒａｎｄｏｍｄｅｍａｎｄ；Ｐｒｉｃｅ；Ａｄｖｅｒｔｉｓｉｎｇ１　引　　言　　随着消费者需求的个性化和多样化，企业产品的生命周期逐渐趋短，越来越多的产品具有ｎｅｗｓｂｏｙ型产品的特征．比如：电脑产品的更新换代，新的产品不断出现，老的产品很快被淘汰．就服装制造业而言，市场的潮流变化迅速，大多服装企业１年分４季推出新品，就意味着一件服装在市场上的销售周期只有３个月左右．近些年，ｎｅｗｓｂｏｙ型产品的订购和库存问题引起了研究者们的广泛关注，许多研究者从不同的角度对经典的ｎｅｗｓｂｏｙ模型作了进１步的扩展．对市场营销而言，主要存在两类推广：第１类是假定需求是依赖销售价格的随机变量，即可以利用价格杠杆来刺激需求．例如，文献［１］首次将价格因素引入到ｎｅｗｓｂｏｙ模型中．［２］考虑了零售商如何设定合适的价格以刺激顾客需求，从而最大化自身期望利润的问题．［３］指出可采用加和与乘积两种方式刻画ｎｅｗｓｂｏｙ型产品需求的随机性．［４］对考虑价格决策的ｎｅｗｓｂｏｙ问题作了总结和进一步推广．［５］进一步将［４］的模型推广到考虑销售商的风险规避情形．［６］在ｎｅｗｓｂｏｙ框架下探讨了采用多重价格折扣来销售多余的库存产品．［７］在假定需求依赖价格的前提下，考虑了顾客可能返还一部分产品或撤消自己订单的情形．［８］考虑了存在次级市场以销售ｎｅｗｓｂｏｙ型产品的问题．另一类则假定需求是依赖广告费用的随机变量，即可以采用广告投入来刺激消费．此类研究主要是由于研究者认识到了广告在企业产品营销中的重要作用．根据美国国家统计局提供的数据显示，美国企业的广　　　控　　制　　与　　决　　策第２５卷告投入从１９９０年的１３００亿美元增加到２０００年的２３６０亿美元．文献［９］将广告效应引入到ｎｅｗｓｂｏｙ问题中，并将潜在市场规模看成是一个随机变量，假定实际的市场需求是潜在市场规模和边际递减项的乘积．在此假定下，他们建立了一个同时决策订购量和广告费用的模型．［１０］在假定需求的期望是关于广告费用的幂函数的前提下，建立了一个推广的ｎｅｗｓｂｏｙ模型，并分别以期望利润最大化和达到某个利润水平的概率最大化为目标，探讨了最优订购量和广告投入的联合决策问题．但其在模型中隐含着如下假定：当广告投入趋于无穷大时，期望需求也趋向无穷大．这一假定显然与现实不符．最近，周永务等［１１］在假定期望需求是关于广告投入的一般函数且具有边际递减效应的前提下，建立了ｎｅｗｓｂｏｙ型商品最优广告费用与订货策略的联合确定模型．虽然现有文献已建立了需求依赖价格或广告费用的ｎｅｗｓｂｏｙ模型，但很少有文献涉及销售价格和广告费用同时决策的问题，原因是同时考虑这两个因素难以给出模型的分析解．在实际的市场运作当中，同时采用这两种营销手段的商品比比皆是．比如爱国者、金士顿等移动闪存盘，各类品牌服装等．本文在假定随机需求是关于价格和广告费用的一般函数的前提下，提出了一个更一般的ｎｅｗｓｂｏｙ模型，给出了寻求最优广告费用、销售价格及订货量的分析方法，并分析了需求的不确定性对最优销售价格和广告投入的影响．最后，通过数值实例验证了模型的求解过程并得到相关管理启示．２　记号与假定　　犙表示系统在销售期初的订购量（决策变量）；犪表示广告费用（决策变量）；狆表示经销商单位产品的销售价格（决策变量）；犇（犪，狆）表示经销商所面临的期望需求；犫表示单位短缺产品延期供给费用；销售期末若产品过剩，则折扣价狏进行清仓处理；犮狀表示单位产品的正常购买成本；犮犲表示紧急订购时单位产品的购买成本；ε表示均值为１的正随机变量，其概率分布函数为犉（·），概率密度函数为犳（·）．假定１　根据实际情形，假定期望需求犇（犪，狆）满足如下性质：１）犇（犪，狆）／狆＜０；２）犇（犪，狆）／犪≥０，２犇（犪，狆）／犪２＜０；３）犇（＋∞，０）＝犇犿．性质１）表示期望需求是关于销售价格的减函数；性质２）表示期望需求是随着广告投入的增加而增加，但广告投入的边际效用是递减的；性质３）指出由于潜在顾客的有限性，当销售价格趋于零且广告投入趋于无限大时，期望需求将趋于一个上界犇犿．为了便于分析，假设期望需求函数具有如下形式：犇（犪，狆）＝犇犿狔（狆）狌（犪）．（１）其中：犇犿是经销商所面临的最大潜在需求；狔（狆）和狌（犪）是归一化因子，即０＜狔（狆）＜１，０＜狌（犪）＜１，分别表示销售价格和广告费用对市场需求的影响．由性质３），假定狔′（狆）＜０．为证明模型最优解存在的唯一性，进一步假定狔（狆）是关于狆的一个下凸函数，且狆狔（狆）是一个下凹函数，即狔″（狆）≥０，２狔′（狆）＋狆狔″（狆）≤０．（２）注１　虽然为了获得模型的解析解而要求狔（狆）和狆狔（狆）分别为下凸和下凹函数，但这并非是一个苛刻的条件．比如：如果狔（狆）是常见的线性函数狔（狆）＝１－θ狆（狆≤１／θ）或非线性函数狔（狆）＝（１＋狆）－犫（０＜犫≤１），则上述条件总是满足的．其次，由上述分析可知，狌（犪）应满足ｌｉｍ犪→＋∞狌（犪）＝１，狌′（犪）≥０，狌″（犪）＜０．（３）另外，为反映销售期内需求的不确定性，该产品在整个销售期的实际需求量狓被假定是犇（犪，狆）与均值１的正随机变量ε的乘积，即狓＝犇（犪，狆）·ε．因此，需求的概率密度函数可表示成犵（狓，犪，狆）＝１犇（犪，狆）犳（狓犇（犪，狆））．（４）假定２　需求是一个非负随机变量，且分布函数二阶可微．假定３　销售季节期间的短缺量完全延期供给．假定４　不失一般性，假定狆＞犮犲＞犮狀＞狏．３　模型的建立　　在上述的记号与假定下，易得经销商的期望利润为Π（犙，犪，狆）＝（狆－犮犲－犫）犇（犪，狆）＋犫犇（犪，狆）犛（犙／犇（犪，狆））＋（犮犲－犮狀）犙－（犮犲－狏）犇（犪，狆）∫犙／犇（犪，狆）０犉（狓）ｄ狓－犪，（５）其中犛（狓）＝狓－∫狓０犉（狋）ｄ狋．由于２Π（犙，犪，狆）／犙２＜０，求解方程Π（犙，犪，狆）／犙＝０可得最优订购量犙满足犉［犙／犇（犪，狆）］＝η，或犙＝犇（犪，狆）犉－１（η），（６）其中η＝（犮犲＋犫－犮狀）／（犮犲＋犫－狏）．将式（６）代入（５）可得经销商的期望利润为Π（犪，狆）＝（狆－犎）犇犿狔（狆）狌（犪）－犪，（７）其中０９第１期汪峻萍等：需求依赖广告费用和销售价格的ｎｅｗｓｂｏｙ型产品库存模型　　　犎＝狏＋（犮犲＋犫－狏）［１－∫犉－１（η）０狓犳（狓）ｄ狓］．（８）令Π（犪，狆）关于狆求二阶偏导数得２Π（犪，狆）／狆２＝犇犿狌（犪）［２狔′（狆）＋狆狔″（狆）－犎狔″（狆）］．（９）由于∫＋∞０狓犳（狓）ｄ狓＝１，可得犎＞０．再由式（２）和（９）可得２Π（犪，狆）／狆２≤０，即Π（犪，狆）是关于狆的下凹函数．因此，通过求解一阶最优性条件，可得最优销售价格狆满足狔（狆）＋（狆－犎）狔′（狆）＝０．（１０）注意到狔′（狆）＜０，故利用（１０），易推出狆＞犎．将狆代入式（７），可得Π（犪）＝（狆－犎）犇犿狔（狆）狌（犪）－犪．（１１）Π（犪）是关于犪的下凹函数，通过求解一阶最优性条件，可得最优广告费用犪满足（狆－犎）犇犿狔（狆）狌′（犪）－１＝０．（１２）综合上述分析，可得如下定理．定理１　使得经销商期望利润最大化的最优销售价格狆，广告费用犪以及订购量犙可由下式给出：狔（狆）＋（狆－犎）狔′（狆）＝０，（１３）（狆－犎）犇犿狔（狆）狌′（犪）－１＝０，（１４）犙＝犇（犪，狆）犉－１（η）．（１５）将犪代入式（１１），可得经销商的期望利润为Π（犪）．４　库存系统的相关性质　　由式（１５），易得最优订购量、销售价格和广告费用三者之间具有如下关系：性质１　经销商的广告费用投入越多或销售价格制定越低，经销商的订购量越大．对式（１０）两边同时关于犪求导，得狆／犪＝０．由此可得如下性质：性质２　经销商的最优销售价格不随广告投入的变化而变化．从性质２可以观察到，最优销售价格仅与价格对期望需求的影响因子以及单位购买成本等有关，而与广告费用投入的多少无关，因此经销商应该提高销售价格以平衡由于高广告投入所带来的损失．另外，由式（１３）～（１５），易得库存系统具有如下性质：性质３　１）狆／犮狀＞０，犪／犮狀＜０，Π（犪）／犮狀＜０；２）狆／犮犲＞０，犪／犮犲＜０，Π（犪）／犮犲＜０；３）狆／犫＞０，犪／犫＜０，Π（犪）／犫＜０；４）狆／狏＜０，犪／狏＞０，Π（犪）／狏＞０．性质３指出，当单位产品的购买成本（无论是在正常订购模式下还是紧急订购模式下）较大时或单位短缺产