机械工程测试技术习题

《测试技术与信号分析》习题与题解适用专业:机械类、自动化课程代码:学时:42-48编写单位:机械工程与自动化学院编写人:余愚审核人:审批人:第二章习题解答2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？2-2．信号分类的方法有哪些？2-3．求正弦信号tAtxsin的均方值2x。解：24sin4222cos12sin2sin11222022022022022ATTATdttATtdtATdttATdttxTTTTTx也可先求概率密度函数：221)(xAtp则：2)(222Adxxpxx。2-4．求正弦信号)sin(tAtx的概率密度函数p(x)。解：2221)(111,arcsinxAAxAdxdtAxt代入概率密度函数公式得：22222200122221lim1lim)(xAxAxATTdtdxTtxxpxx2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱解在x(t)的一个周期中可表示为201)(11TtTTttx该信号基本周期为T，基频0=2/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn当n=0时，常值分量c0：txT1-T1T-TTTdtTacTT1002111当n0时，110110011TTtjnTTtjnneTjndteTc最后可得jeeTnctjntjnn22000注意上式中的括号中的项即sin(n0T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为0)(sin2)sin(210010nTncTTnTncn，其幅值谱为：)(sin211TncTTcon，相位谱为：,,0n。频谱图如下：2-6．设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。即：若有nFSctx则ntjFScettx000证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t-t0)，则其对应的傅立叶系数为TtjndtetxTc01'令0tt，代入上式可得ntjTjtjTtjncedexTedexTc000000011)('因此有ntTjntjFScecettx000)/2(0同理可证ntTjntjFScecettx000)/2(0证毕！nCTT/211/T00nCTT/211/T00n02-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数)(sin2110110TncTTdteTCTTtjnn则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有)()(sin22)(0101nTncTTXn此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频0以及所有谐频处，其脉冲强度为01/4TT被)(sintc的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。2-8．求符号函数的频谱。解：符号函数为000101)(ttttx可将符号函数看为下列指数函数当a0时的极限情况解00)sgn()(tetettxatatfjfjfjafjadteedteedtetxfXaftjatftjataftj12121lim..lim00202022-9．求单位阶跃函数的频谱：解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即0002/101)(tttt)sgn(121)(tt所以：2-10．求指数衰减振荡信号tetxat0sin的频谱。解：)(2sinsin21sin21)(0000)(000tjtjtjatjateejttdedteteXfjff1)(21)(202000)()(0)(21)(1)(1)2(21)2(21)(00jajjajjajdteejXtjjatjja2-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性即：若fXtxFT则020ffXetxFTtfj证明：因为)(][020ffeFtfi又因为][*00202tfiFTtfjeFfXetx0002)(*0ffXfffXetxFTtfj证毕！2-12．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性即：若fXtxFT则fXtxFT**式中x*(t)为x(t)的共轭。证明：dfefXtxftj2)(由于dtetxdtetxfXftjftj2**2*)()(上式两端用-f替代f得dtetxfXftj2**)(上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)=x(t)，可得X(f)共轭对称，即fXfX*2-13．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性即：若fXtxFT则fxtXFT证明：由于dfefXtxftj2)()(以-t替换t得dfefXtxftj2)(上式t与f互换即可得dtetXfxftj2)(即fxtX证毕。特殊情况,当xt为偶函数时，fxtXFT2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：212ttg且已知2222)()(faafXetxFTta解：当a=2，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2，根据傅里叶变逆换有dfefdfefeftjftjt22222212212222等式两端同时乘以2，并用-t替代变量t得dtefeftjt222122交换变量t和f得dteteftjf222122上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以fFTefGttg222)(12)(2-15．所示信号的频谱)5.2()5.2(21)(21txtxtx式中x1(t),x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。解：根据前面例2-15求得x1(t),x2(t)的频谱分别为fffXsin)(1和fffX3sin)(2根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：ffefXfj3sinsin)(215)(tx)(1txttt)(2tx图2-312-16．求信号x(t)的傅里叶变换0)(aetxta解：由例2-16已知fjatueFTat21)(注意到x(t)为实偶函数，t0时)()(tuetxat，t0时)()(tuetxat，所以)()()(tuetuetxatat，根据线性叠加特性)()()(tueFtueFfXatat又根据时间比例特性有fXtxFT，所以fjatueFTat21)(最后得22222121)(faafjafjafX在实际应用中，一般a为0的实数则afXaatxFT12-17．已知信号x(t)试求信号x(0.5t)，x(2t)的傅里叶变换11,0,1)(TtTttx解：由例可知x(t)的傅里叶变换为112sin2)(fTcTfX根据傅里叶变换的比例特性可得如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间尺度压缩(a1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。11114sin45.02sin25.01)5.0(fTcTTfcTtxF1111sin22sin221)2(fTcTTfcTtxFx(t/2)t-TT2T-1/2T1/2Tfa=0.5x(t/2)t-T/2T/2T-1/T1/Tfa=1.0x(t/2)t-T/4T/4T/2-2/T2/Tfa=2.0111题图2-17时间尺度展缩特性示意图2-18．求同周期的方波和正弦波的互相关函数解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：sin2sin42123cos12cos23cos12cos21coscoscos1sin1sin1sin11)(43434404343440TTTTTTTTTTxytttTtdttdttdtTR2-19．求信号)()(tuetxat的自相关函数。解：由定义dttutueedttuetuedttxtxRatataatx)()()()()()()(2)(其中积分的被积函数的非零区间为00tt与的交集，即),0max(t。因此，当0时，上式为atatatataxeaeaedteeR21)21()(0202当0时，则有aaaataataxeaeaeeaedteeR21)210()21()(222综合有axeaR21)(112-20．下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。（1）tbtatf3cos5sin)(（30）（2）tbttatf3cos6sin)(（12）（3）)343sin()(tatf（38）（4）)54cos()(tatf（8）2-21．如图所示，有12nN个脉宽为的单位矩形脉冲等间隔（间隔为T）地分布在原点两侧，设这个信号为)(tx，求其FT。解：由题意，nnmmTtxtx)()(0其中)()(0tGtx，其FT为)2(sin)(0cX。根据FT的时移特性，可以求得)2sin()2sin()()()()()()()(1)()()(02/2/2/2/02/2/2/2/2/2/0)1(00TTNXeeeeXeeeeeeXeeeXeXXTjTjTjNTjNTjTjTjTjNTjNTjTjTnjTjmnnmTjm下面分析一下所求的结果。当Tm2时，由罗彼塔法则可以求得NTTN)2sin()2sin(，因此)()(0NXX，是单个矩形脉冲频谱)(0X的N倍，这是N