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（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω；φn—ω图并与表1-1对比。解：傅立叶级数的复指数形式表达式：⋅⋅⋅±±±==∑+∞−∞=,3,2,1,0;)(0neCtxntjnnω式中：[]()⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅±±±=⋅⋅⋅±±±=−=−−=+×+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤+⎢⎣⎡−==−−−−−−−−−∫∫∫,6,4,2;0,5,3,1;2cos12111)(1)(1200002002002022000000000000nnnAjnnAjeenjAnjAejnATejnATdtAedteATdtetxTCjnjnTtjnTtjnTtjnTtjnTTtjnnπππππωωππωωωωω所以：⋅⋅⋅±±±±=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∑+∞−∞=,7,5,3,1;2)(0nenAjtxtjnnωπ幅值频谱：⋅⋅⋅±±±==+=,5,3,1;222nnACCCnInRnπ相位频谱：立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。求正弦信xs求指数函数的频谱。）和单位阶跃函数（题图）的频谱⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅−−−=⋅⋅⋅=−=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−==,5,3,1;2,5,3,1;202nnnAarctgCCarctgnRnInπππϕ傅号的绝对均值和均方根值1.2x(t)=x0sinωtμ||xrm解：ωππωμ2;2sin1)(lim0000000====∫∫∞→TxtdtxTdttxTTTx式中：()2sin1)(10020002000xdtdtxTdttxTxTTrms===∫∫ω1.3解：00;Aex;()(≥=−tttαα)fjAdteAedtetxfXftjtftjπαπαπ2)()(022+=⋅==∫∫∞+−−∞+∞−−1.41-1a1-1b.求符号函数（题图1:1)符号函数的频谱:令:fjdteedteedtetxfXtxetxftjtftjtftjtππαπααπαα1)1(lim)()(;)(lim)(0220021101=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−===∫∫∫∞+−−−∞−−→−−→2)单位阶跃函数的频谱:fjdteedtetxfXtxetxftjtftjtππααπαα21lim)()(;)(lim)(02022202=⎟⎠⎞⎜⎝⎛===∫∫∞+−−→−−→1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。⎩⎨⎧≥=TtTtttx;0;cos)(0ω解：()[]210000222202sinsin2)(2)(sin2)(2)(sin212cos)()(00θθππππππππππ⋅+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+++=+===−−+−+−−+∞∞−−∫∫∫ccTTffTffTffTffTdteeedttefdtetxfXftjtfjtfjTTTTftjftj1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）：的频谱00(;sin0≥=texαωα,)(−ttt)解：()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−++=−⋅===−∞+−−−+∞−+∞∞−−∫∫∫)(21)(21222sin)()(002022200200ffjffjjdteeejedtetfedtetxfXftjtfjtfjtftjtftjπαπαππππαπαπ1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t，(ω0ωm)。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0ωm时将会出现什么情况？解：2[]())22(2)22(200ffFffFππππ−++=1121)(2cos)()()(22220200dteeetfdtetftfdtetxfXftjtfjtfjftjftjππππππ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅==−∞+∞−−−+∞∞−+∞∞−−∫∫∫，将会出现频率混叠现象1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx和均方值φx2和概率密度函数p(x)解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/x0)等式两边对x求导数：)(1)(11122002000txxxtxxdxdt−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=ωω)(1221limlim1lim)(22000txxdxdtTTtxTTxxxxTx−=⋅=Δ⋅Δ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ=→Δ∞→→Δπp2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值误差将是多少？解：()()()ωωωτωωXYjjH=+=+=135.0111()()2277.01135.011⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+=πωωA当T=1s时，()41.01=ωA，即xYAA41.0=，误差为59%当T=2s时，()67.02=ωA，误差为33%当T=5s时，()90.03=ωA，误差为8%2.3求周期信号()()o45100cos2.010cos5.0−+=tttx，通过传递函数为()105.01+=ssH的装置后所得到的稳态响应。解：利用叠加原理及频率保持性解题()()()oo45100sin2.09010sin5.0+++=tttx()()()22005.01111ωτωω+=+=A，()()ωωφ005.0arctg−=101=ω，()11=ωA，()o86.21−ωφ()()oo86.29010sin15.01−+⋅×=ttx，3=ω，()89.02=ωA，()o57.262−=ωφ()()oo4557.26100sin89.02.02+−⋅×=tty()()()oo43.18100sin)178.0(14.8710sin5.0+−++=∴ttty2.7将信号tωcos输入一个传递函数为()121+=ssH的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出的表达式。()ty解：()()()o90sincos+==tttxωω()11+=ssHτ，()()211τωω+=A，()τωφarctg−=()()()()τωωτωarctgtty−++=o90sin112=()()τωωτωarctgt−+cos1122.8求频率响应函数()()2176157753601.013155072ωωω−++jj的系统对正弦输入的稳态响应的均值显示。()()ttx8.62sin10=解：写成标准形式()()()()[]22221nnnjjjaHωωξωωτωωω+++⋅=()()()()()21256125621256101.01222×+×+−⋅+=ωξωωjj∴()()2157753617612568.621101.08.6211222×+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−××+=ωA7.199.069.1=×=对正弦波，122107.12=×==Aux2.9试求传递函数分别为2224.15.1nnSSωω++和22224.141nnnSSωωω++的两个环节串联后组4（不考虑负载效应）解：()()()ωωω21HHH⋅=()1735.05.35.11+=+=SSHω，31=S()22224.141nnnSSHωωωω++=，412=S12341321=×=⋅=SSS2.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间单常数应去多少？若用该系统测试50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？解：由振幅误差()%511||00≤−=−=−=ωAAAAAAEIII∴()%95≥ωA即()()%95112=+=τωωA，()95.01002112=×+tπ，s41023.5−×=τ当πππω1005022=×==f，且时s41023.5−×=τ()()%7.981001023.51124≈××+=−πωA∴此时振幅误差%3.1%7.9811=−=E()()o3.91001023.54−≈××−=−πωφarctg2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比14.0=ξ，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其振幅比()ωA和相角差()ωϕ各为多少？若该装置的阻尼比可改为7.0=ξ，问()ωA和()ωϕ又将作何种变化？解：作频率为400Hz的正弦力测试时()2222411⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=nnAωωξωωω5()222280040014.0480040011⎟⎠⎞⎜⎝⎛×+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=31.1≈()212⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=nnarctgωωωωξωϕ2800400180040014.02⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛××−=arctgo6.10−≈当阻尼比改为7.0=ξ时()()97.08004007.04800400112222≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛×+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=ωA()o4380040018004007.022−≈⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛××−=arctgωϕ即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位差变大。2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s。设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。解：最大超调量5.1211==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−ξπξeM即13.015.1ln12≈+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=πξ6==ddTωπ∴128.6212≈=−=πξωωnd()01.113.0111122≈−=−=ξωn系统的传递函数()()()1222++==nnSSksXsYsHωξω()101.113.0201.1322+⋅×+=SS该装置在无阻尼固有频率处的频率响应由()()()()122++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==nnjjKXYjHωωξωωωωωnnjKωωξωω212+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∴()jjKjHnnn26.03212=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=ωωξωωωdω为有阻尼固有频率M=0.5，12==Tdπω215.01ln1212=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⇒=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−MeMπξξξπ21ξωω−=nd，∴02.112=−=ξωωdnS=37∴()SSSsHnnn⋅++=2222ωξωω304.144.004.12×+⋅+=SS()98.63412=×=ξωnA（nωω=时代入得）()()o90,21−==ωϕξωA()2πωϕ−=∞−=arctgn()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=202.1sin98.6πtty4.1解：μ=2μm时，单臂，004URRUyΔ=04URRSUgyε⋅⋅=)(1033*1204102120266VUy−−×=××××=双臂，002URRUyΔ=02URRSUgyε⋅⋅=)(1063*1202102120266VUy−−×=××××=：μ=2000μm时，单臂，004URRUyΔ=04URRSUgyε⋅⋅=8)(1033*1204102000120236VUy−−×=××××=双臂，002URRUyΔ=02URRSUgyε⋅⋅=)(1063*1202102000120236VUy−−×=××××=双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。4.4解：00URRUyΔ=0URRSUgyε⋅⋅=tEtBtASUgy1