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机械工程测试技术基础习题解答教材：机械工程测试技术基础，熊诗波黄长艺主编，机械工业出版社，2006年9月第3版第二次印刷。绪论0-1叙述我国法定计量单位的基本内容。解答：教材P4~5，二、法定计量单位。0-2如何保证量值的准确和一致？解答：（参考教材P4~6，二、法定计量单位~五、量值的传递和计量器具检定）1、对计量单位做出严格的定义；2、有保存、复现和传递单位的一整套制度和设备；3、必须保存有基准计量器具，包括国家基准、副基准、工作基准等。3、必须按检定规程对计量器具实施检定或校准，将国家级准所复现的计量单位量值经过各级计算标准传递到工作计量器具。0-3何谓测量误差？通常测量误差是如何分类表示的？解答：（教材P8~10，八、测量误差）0-4请将下列诸测量结果中的绝对误差改写为相对误差。①1.0182544V±7.8μV②(25.04894±0.00003)g③(5.482±0.026)g/cm2解答：①-667.810/1.01825447.6601682/10±´»±②60.00003/25.048941.197655/10±»±③0.026/5.4824.743±»‰0-5何谓测量不确定度？国际计量局于1980年提出的建议《实验不确定度的规定建议书INC-1(1980)》的要点是什么？解答：(1)测量不确定度是表征被测量值的真值在所处量值范围的一个估计，亦即由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度。(2)要点：见教材P11。0-6为什么选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程？为什么是用电表时应尽可能地在电表量程上限的三分之二以上使用？用量程为150V的0.5级电压表和量程为30V的1.5级电压表分别测量25V电压，请问哪一个测量准确度高？解答：(1)因为多数的电工仪表、热工仪表和部分无线电测量仪器是按引用误差分级的（例如，精度等级为0.2级的电表，其引用误差为0.2%），而引用误差=绝对误差/引用值其中的引用值一般是仪表的满度值(或量程)，所以用电表测量的结果的绝对误差大小与量程有关。量程越大，引起的绝对误差越大，所以在选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程。(2)从(1)中可知，电表测量所带来的绝对误差=精度等级×量程/100，即电表所带来的绝对误差是一定的，这样，当被测量值越大，测量结果的相对误差就越小，测量准确度就越高，所以用电表时应尽可能地在电表量程上限的三分之二以上使用。(3)150V的0.5级电压表所带来的绝对误差=0.5×150/100=0.75V；30V的1.5级电压表所带来的绝对误差=1.5×30/100=0.45V。所以30V的1.5级电压表测量精度高。0-7如何表达测量结果？对某量进行8次测量，测得值分别为：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46，802.45，802.43。求其测量结果。解答：(1)测量结果=样本平均值±不确定度或ˆxsXxσxn=+=+(2)81802.448iixx===å821()0.04035681iixxs=-==-åˆ0.0142688xsσ==所以测量结果=802.44+0.0142680-8用米尺逐段丈量一段10m的距离，设丈量1m距离的标准差为0.2mm。如何表示此项间接测量的函数式？求测此10m距离的标准差。解答：(1)101iiLL==å(2)210210.6mmiLLiiLσσL=æö¶==ç÷¶èøå0-9直圆柱体的直径及高的相对标准差均为0.5%，求其体积的相对标准差为多少？解答：设直径的平均值为d，高的平均值为h，体积的平均值为V，则24πdhV=()()2222222222222242VdhdhdhVVπdhπdσσσσσdhσσVVdhæö¶¶æöæöæö=+=+ç÷ç÷ç÷ç÷¶¶èøèøèøèøæöæö=+ç÷ç÷èøèø所以222244(0.5%)(0.5%)1.1%VdhσσσVdhæöæö=+=+=ç÷ç÷èøèø第一章信号的分类与描述1-1求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。解答：在一个周期的表达式为00(0)2()(0)2TAtxtTAtì--£ïï=íï£ïî积分区间取（-T/2，T/2）0000000022020002111()d=d+d=(1-cos)(=0,1,2,3,)TTjntjntjntTTncxtetAetAetTTTAjnnn-----=--±±±òòòLwwwpp所以复指数函数形式的傅里叶级数为001()(1cos)jntjntnnnAxtcejnen¥¥=-¥=-¥==--ååwwpp，=0,1,2,3,n±±±L。(1cos)(=0,1,2,3,)0nInRAcnnncì=--ï±±±íï=îLpp2221,3,,(1cos)00,2,4,6,nnRnIAnAcccnnnnì=±±±ï=+=-=íï=±±±îLLppp1,3,5,2arctan1,3,5,200,2,4,6,nInnRπncπφncnì-=+++ïïï===---íï=±±±ïïîLLL没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。图1-4周期方波信号波形图0tx(t)T02-T020T-……A-AT01-2求正弦信号0()sinxtxωt=的绝对均值xμ和均方根值rmsx。解答：00002200000224211()dsindsindcosTTTTxxxxxμxttxωttωttωtTTTTωTωπ====-==òòò222200rms0000111cos2()dsindd22TTTxxωtxxttxωtttTTT-====òòò1-3求指数函数()(0,0)atxtAeat-=³的频谱。解答：(2)220220(2)()()(2)2(2)ajftjftatjfteAAajfXfxtedtAeedtAajfajfaf-+¥¥---¥-¥-=====-+++òòppppppp22()(2)kXfafp=+Im()2()arctanarctanRe()XfffXfa==-pj1-4求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。|cn|φnπ/2-π/2ωωω0ω03ω05ω03ω05ω02A/π2A/3π2A/5π幅频图相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/5π2A/3π2A/π-ω0-3ω0-5ω0-ω0-3ω0-5ω0单边指数衰减信号频谱图f|X(f)|A/a0φ(f)f0π/2-π/2a)符号函数的频谱10()sgn()10txttt+ì==í-ît=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。10()sgn()0atatatetxtetet--ì==í-î10()sgn()lim()axttxt®==0222112204()()(2)jftatjftatjftfXfxtedteedteedtjaf¥¥-----¥-¥==-+=-+òòòppppp[]101()sgn()lim()aXftXfjf®===-pF1()Xffp=02()02fffpjpìïï=íï-ïîtsgn(t)01-1tu(t)01图1-25题1-4图a)符号函数b)阶跃函数b)阶跃函数频谱10()00tuttì=íî在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。解法1：利用符号函数11()sgn()22utt=+[][]1111111()()sgn()()()22222Ufuttfjfjffæöéùéù==+=+-=-ç÷êúêúëûèøëûddppFFF()2211()()2Ufffdp=+结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。解法2：利用冲激函数10()()d00ttuttdtt-¥ì==íîò时时根据傅里叶变换的积分特性1111()()d()(0)()()222tUffffjjffdttddpp-¥éùéù==D+D=-êúêúëûëûòF单位阶跃信号频谱f|U(f)|0(1/2)fφ(f)0π/2-π/21()sgn()atxtet-=符号函数tx1(t)01-1符号函数频谱fφ(f)0π/20f|X(f)|-π/21-5求被截断的余弦函数0cosωt(见图1-26)的傅里叶变换。0cos()0ωttTxttTìï=í³ïî解：0()()cos(2)xtwtft=pw(t)为矩形脉冲信号()2sinc(2)WfTTf=p()002201cos(2)2jftjftfteeppp-=+所以002211()()()22jftjftxtwtewte-=+pp根据频移特性和叠加性得：000011()()()22sinc[2()]sinc[2()]XfWffWffTTffTTff=-++=-++pp可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。1-6求指数衰减信号0()sinatxteωt-=的频谱解答：指数衰减信号x(t)fX(f)Tf0-f0被截断的余弦函数频谱图1-26被截断的余弦函数ttT-TT-Tx(t)w(t)1001-1()0001sin()2jtjtteej-=-www所以()001()2jtjtatxteeej--=-ww单边指数衰减信号1()(0,0)atxteat-=³的频谱密度函数为112201()()jtatjtajXfxtedteedtaja¥¥----¥-====++òòwwwww根据频移特性和叠加性得：[]001010222200222000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]ajajXXXjjaaaajaaaaéù---+=--+=-êú+-++ëû--=-+-+++-++wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww1-7设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡00cos()mωtωω。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡0cosωt叫做载波。试求调幅信号0()cosftωt的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若0mωω时将会出现什么情况？图1-27题1-7图ωF(ω)0f(t)0t-ωmωm00X(ω)-ππφ(ω)ωω指数衰减信号的频谱图解：0()()cos()xtftt=w()[()]Fft=wF()0001cos()2jtjttee-=+www所以0011()()()22jtjtxtftefte-=+ww根据频移特性和叠加性得：0011()()()22XfFF=-++wwww可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。若0mωω将发生混叠。1-8求正弦信号0()sin()xtxωtφ=+的均值xμ、均方值2xψ和概率密度函数p(x)。解答：(1)0000011lim()dsin()d0TTxTμxttxωtφtTT®¥==+=òò，式中02πTω=—正弦信号周期(2)0022222200000000111cos2()lim()dsin()dd22TTTxTxxωtφψxttxωtφttTTT®¥-+==+==òòò(3)在一个周期内012ΔΔ2ΔxTttt=+=0002Δ[()Δ]limxxTTTtPxxtxxTTT®¥£+===22Δ0Δ0000[()Δ]2Δ2d1()limlimΔΔdxxPx