机械振动1

机械振动本章内容Contentschapter17简谐振动的特征及其描述characteristicanddescribeofsimpleharmonicmotion简谐振动的能量energyofsimpleharmonicmotioncomposeofsimpleharmonicmotion简谐振动的合成第一节引言characteristicanddescribeof17-1simpleharmonicmotion往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。机械振动物体在它的平衡位置附近所作的物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力；物体具有惯性。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。简谐振动（simpleharmonicvibration)是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动。动力学特征以物体受力为零的平衡位置为坐标原点水平光滑面，弹簧劲度质量可忽略，物体质量物体在任一位置受的弹性力以铅垂方向为摆角参考轴线，单摆在任一角位置所受的重力矩为则取摆幅很小X正X向反X向运动学特征简谐振动的速度A简谐振动的加速度A应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程X简谐振动微分方程对于给定的弹簧振子为常量，其比值亦为常量。令则即得A为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。简谐振动方程A该微分方程的解通常表成余弦函数续上简谐振动的加速度AA简谐振动的振动方程简谐振动的速度AAA最大最大最大AAA简谐振动参量XAA振幅：的最大绝对值A周期：完成一次振动需时频率：角频率：弹簧振子单摆AA相位：是界定振子在时刻的运动状态的物理量运动状态要由位置和速度同时描述，而和的正负取决于，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态AA位置速度初始条件即为初相：是时，振子的相位。续上由和求给定振子的振幅AAAA消去得初相由和求给定振子的AAA消去得但由于在0~2p范围内，同一正切值对应有两个值，因此，还必须再根据和的正负进行判断。联系振子运动状态直观图不难作出判断且若则若且则且若则且若则（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）旋转矢量法AAXXOjM(0)Aj初相M(t)twtwM(t)twM(t)twM(t)M(t)twM(t)twM(T)Tw周期TM(t)twM(t)twXOjM(0)j初相M(t)twA矢量端点在X轴上的投影对应振子的位置坐标t时刻的振动相位(wt﹢j)旋转矢量A以匀角速逆时针转动循环往复x=Acos(wt﹢j)简谐振动方程续上旋转矢量端点M作匀速圆周运动振子的运动速度（与X轴同向为正）wA其速率wAjtwAXAAXOwjtwO旋转矢量端点M的加速度为法向加速度，其大小为wA振子的运动加速度（与X轴同向为正）wAjtw和任一时刻的和值，其正负号仅表示方向。同号时为加速异号时为减速例一0.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐振动方程A=0.04(m)T=2(s)w=2p/T=p(rad/s)0.04pp2Aw=p/2t=0v0从t=0作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即，与已知X~t曲线一致。v0SI试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。平衡点在受力平衡点小球受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在为置坐标处所受弹性力合外力振动方程A动力学方程微分方程的解：均与水平弹簧振子结果相同例二例三弹簧振子x0=0t=0时v0=0.4m·s-1m=5×10-3kgk=2×10-4N·m-1完成下述简谐振动方程v0mk0.2(rad·s–1)x0v02(m)x0=0已知w相应的旋转矢量图为20.2(SI)v0例四某物体沿X轴作简谐运动，振幅A=0.12m，周期T=2s，t=0时x0=0.06m处初相j,t=0.5s时的位置x,速度v,加速度a物体背离原点移动到位置A=0.12m，T=2s,w=2p/T=prad·s-1,将j=p/3rad及t=0.5s代入谐振动的x,v,a定义式得xAcos(wt﹢j)0.104(m)A0.19(m·s-1)A1.03(m·s-2)x=Acos(wt﹢j)由简谐振动方程t=0时0.06=0.12cosj得j=±p/3再由题意知t=0时物体正向运动，即A0且j=p/3，则j在第四象限，故取例五周期均为T=8.5s用旋转矢量法两质点振动相位差两质点第一次通过平衡点的时刻两质点1、2同在X轴上作简谐振动t=0时在处质点2AA向平衡点运动质点1在处向平衡点运动振幅A相同AcosAcos或因且在第一象限应取AcosAcos两质点振动相位差AA从旋转矢量图可以看出：时，质点1第一次通过平衡点A转过1.06(s)A转过时，质点2第一次通过平衡点2.13(s)第二节振动能量17-2energyofsimpleharmonicmotion（以x=0处为零势点）系统的动能A系统的势能A系统的机械能AA振子运动速度AA简谐振动方程振动系统：弹簧劲度振子质量振动角频率如水平弹簧振子均随时间而变且能量相互转换变到最大时变为零系统的机械能守恒。及A变为零变到最大时时间能量例六动能A势能A当时则其中得振动相位或一水平弹簧振子弹簧劲度振子质量振幅A沿X轴振动当振动系统的以平衡点为原点位置坐标x相等时动能值与势能值振子的A代入中，解得能量位置例七该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及摆动周期动能刚体（直棒）转动动能势能系统的重力势能以垂态直棒中心点C为重力零势点令机械能机械能守恒，即为恒量，即得简谐角振动微分方程该摆的振动周期匀质细直悬棒质量m、长L在铅直面内摆动摆幅很小转动惯量随堂小议（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为小议链接1（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为小议链接2（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为小议链接3（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为小议链接4（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为第三节振动合成17-3composeofsimpleharmonicmotion且相同同在X轴合成振动用旋转矢量法可求得合成振动方程与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用续上合振动分振动；其中，合振幅若则为合振幅可能达到的最大值若则若为其它值，则处于与之间若则为合振幅可能达到的最小值若则例八0.050.060.07简谐振动(SI)(SI)(SI)合成的和合成的最大时合成的最小时8.92×10–2(m)0.92868°12′248°12′(舍去）时当得合成的达到最小当时合成的达到最大得振动合成二为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。合振动此合振动不是简谐振动，一般比较复杂，只介绍一种常见现象：频率为的简谐振动频率为的简谐振动续上385Hz383Hz听到的音频384Hz强度节拍性变化2Hz若与相差不大，可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相对较高的简谐振动1秒9Hz8Hz合振动振幅（包络线）变化的频率称为两分振动的频率1Hz“拍频”合振动频率8.5Hz例如：振动合成三消去得轨迹方程：该方程为椭圆的普遍方程，若或得直线或得直线若若介绍几种特殊情况：得正椭圆续上或振动合成四其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。但当为两个简单的整数之比时可以得到稳定轨迹图形，称为李萨如图形例如随堂小议结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案（1）0；（2）4cm；（4）8cm。两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π–5t)2π则其合振动的振幅为（3）4cm；小议链接1（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π–5t)2π则其合振动的振幅为谐振动（3）4cm；小议链接2（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π–5t)2π则其合振动的振幅为谐振动（3）4cm；小议链接3（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π–5t)2π则其合振动的振幅为谐振动（3）4cm；小议链接4（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π–5t)2π则其合振动的振幅为谐振动（3）4cm；作业HOMEWORK17-917-1617-1917-22选讲：阻尼振动称为阻尼振动或衰减振动振幅逐渐衰减的振动形成阻尼振动的原因：振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。以第一种原因为例，建立阻尼振动的力学模型。续上以液体中的水平弹簧振子为例：摩擦阻力弹性力振动速度不太大时受：阻力系数摩擦阻力与反向负号：弹性力振子受合外力即令称为振动系统的固有角频率得称为阻尼系数若阻尼较弱，且时，上述微分方程的解为续上和取决于初始状态。为振动角频率，为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。本图设越大，振幅衰减越快，且振动周期越长。周期续上相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但只要满足，振子仍可出现往复运动的特征，仍属阻尼振动。若阻尼过大，以致，用此条件求解微分方程，其结果表明（数学表达从略）振子不能作往复运动，而是从开始的最大位置缓慢地回到平衡位置。此情况称为过阻尼。若，振子从开始的最大位置较快地回到平衡位置，并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼。临界阻尼过阻尼阻尼振动受迫振动系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动称为受迫振动。幅值角频率周期性外力（强迫力）弹性力示意建立动力学方程即表成此微分方程的解为续上受迫振动进入稳定振动状态后，其振动角频率为强迫力的角频率，其振幅为受迫振动与强迫力有一定的相位差，用初相表示和都与阻尼系数固有角频率的大小有关。强迫力角频率相对于系统的开始振动比较复杂经过一段时间后，受迫振动进入稳定振动状态。续上较小较大重点讨论受迫振动稳定状态时的振幅若强迫力的角频率已定，大则小。若阻尼系数已定，当等于或接近系统的固有角频率时，获得极大值。令求得极大时的为受迫振动的振幅出现极大值的现象称为共振。共振时的振幅值为共振时的强迫力频率称为共振频率