机械振动在弹性介质

1机械振动在弹性介质中的传播称为机械波。一.机械波的产生和传播1.产生条件:波源;媒质2.波的特征(1)质元并未“随波逐流”.(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现---波是振动状态的传播。§5.1机械波的形成和传播§5-2平面简谐波的波动方程(波函数)3.横波纵波波源作简谐振动二.简谐波（harmonicwaves)平面简谐波:（planeharmonicwaves）三.平面简谐波的波动方程波动方程的一般表示：xtyy,----波函数平面简谐波的波函数：设波源O点振动表达式：2)cos(00tAyXypuOxy表示各质点在Y方向上的位移，A是振幅，是角频率或叫圆频率，为O点在零时刻的相位。0O点运动传到p点需用时间uxt§5-2平面简谐波的波动方程P点比O点相位落后§5-2平面简谐波的波动方程(波函数)横波纵波3.波源作简谐振动二.简谐波（harmonicwaves)三.平面简谐波的波动方程波动方程的一般表示：xtyy,----波函数平面简谐波的波函数：设波源O点振动表达式：平面简谐波:（planeharmonicwaves）3uxp点的振动方程：P点在t时刻的位移等于原点处质点在时刻的位移uxtT/2Tu/即p点的相位落后于O点相位：x2---右行波的波动方程。一.平面简谐波的波动方程XypuOxO点运动传到p点需用时间uxtP点比O点相位落后y表示各质点在Y方向上的位移，A是振幅，是角频率或叫圆频率，为O点在零时刻的相位。0)cos(00tAy])(cos[),(0uxtAtxy]2)cos[(),(0xtAtxy4；22(T)uuT])(2cos[),(0xtAtxy若再经△t，p点的振动又向前传播了△x,右行波波动方程])(2cos[),(0xTtAtxy另几种等价表达式讨论1XypuOxuxp点的振动方程：P点在t时刻的位移等于原点处质点在时刻的位移uxtT/2Tu/即p点的相位落后于O点相位：x2---右行波的波动方程。])(cos[),(0uxtAtxy]2)cos[(),(0xtAtxy5])(2)(cos[0xxttA),(ttxxy02cos[xtA)](2xtu),(),(txyttxxy若这两处相位相同，则有：)2cos(),(0xtAtxy0)(2xtu；22TuuT])(2cos[),(0xtAtxy若再经△t，p点的振动又向前传播了△x,])(2cos[),(0xTtAtxy另几种等价表达式讨论1XypuOx波速就是相位传播的速度！6左行波的波函数p点的相位超前于O点相位：xux2则：p点的运动方程，也就是左行波的波方程.)cos(00tAy左行波的波函数讨论2])(2)(cos[0xxttA),(ttxxy02cos[xtA)](2xtu),(),(txyttxxy若这两处相位相同，则有：)2cos(),(0xtAtxy0)(2xtu波速就是相位传播的速度！])(cos[),(0uxtAtxy+7x表示0处质点的振动方程1.=x0(常数)x四、波动方程的物理意义)2cos()cos()(0000xtAuxtAtyx0处质元的振动速度)(sin0uxtAty※不同于波传播的速度u!四、波动方程的物理意义tt=(常数)12.])(cos[)(01uxtAxy左行波的波函数p点的相位超前于O点相位：xux2则：p点的运动方程，也就是左行波的波方程.)cos(00tAy讨论2])(cos[),(0uxtAtxy+8表示在时刻的波形t1yxo3.t与x都发生变化设t时刻位于质点P点的位移为：])(cos[0uxtAyP经过△t时间后,P点的振动传到处的Q点，tux])(cos[0utuxttAyQx表示0处质点的振动方程1.=x0(常数)x四、波动方程的物理意义)2cos()cos()(0000xtAuxtAtyx0处质元的振动速度)(sin0uxtAty※不同于波传播的速度u!tt=(常数)12.])(cos[)(01uxtAxy9])(cos[0uxtAxyxPyQytux表示在时刻的波形t1yxo3.t与x都发生变化设t时刻位于质点P点的位移为：])(cos[0uxtAyP经过△t时间后,P点的振动传到处的Q点，tux])(cos[0utuxttAyQ位移发生在处,波向前传播x在经过，时间后,同样的Pyt这表示在时刻处的位移txtu的距离,即某一固定位了的距离。tu相传播了波形沿传播方向前进行波（travelingwaves）104.波动方程反映了波的时间、空间双重周期性(T,)波动方程反映了波的时间、空间双重周期性])(cos[0uxtAxyxPyQytux位移发生在处,波向前传播x在经过，时间后,同样的Pyt这表示在时刻处的位移txtu的距离,即某一固定位了的距离。tu相传播了波形沿传播方向前进行波5.波动方程反映了波是振动状态的传播五、波动微分方程由uxtAycosuxtAtysinuxtAtycos222uxtuAxysin11uxtuAxycos2222由上两式有:222221tyuxy波的动力学微分方程4.波动方程反映了波的时间、空间双重周期性(T,)5.波动方程反映了波是振动状态的传播五、波动微分方程由uxtAycosuxtAtysinuxtAtycos222uxtuAxysin(平面简谐波只是上述方程的一个解.)波速与介质的关系通过波在介质中传播的动力分析，再与波动方程相比较，可得波的传播速度的大小只取决于介质的弹力与质元惯性。12uxtuAxycos2222由上两式有:222221tyuxy波的动力学微分方程波速与介质的关系通过波在介质中传播的动力分析，再与波动方程相比较，可得波的传播速度的大小只取决于介质的弹力与质元惯性。理想气体中的纵波(声波)速Pu,vpCCP---压强，ρ---质量密度mM----摩尔质量e.g.流体中的纵波（如声波）是无声波时的流体密度是体积模量，KKu,mmMRTVMRTmRTMmpVm130℃时，u=331m·s－120℃时,u=343m·s－1若视空气分子为理想气体,声波在空气中的传播可看成绝热过程.空气的γ=1.4,Mm=28.9g·mol－1理想气体中的纵波(声波)速Pu,vpCCP---压强，ρ---质量密度mM----摩尔质量e.g.流体中的纵波（如声波）是无声波时的流体密度是体积模量，KKu,mmMRTVMRTm14例题一平面简谐波以速率u=20m/s沿直线传播.已知在传播路径上某点A的简谐运动方程为y=3cos4πt(SI).(1)以点A为坐标原点,写出波动方程.(2)写出传播方向上点C、点D的简谐运动方程;(3)以距点A为5m处的点B为坐标原点,写出波动方程;••••ABCDx8m5m9mu解:已知u=20m/s,ω=4π0℃时，u=331m·s－120℃时,u=343m·s－1若视空气分子为理想气体,声波在空气中的传播可看成绝热过程.空气的γ=1.4,Mm=28.9g·mol－115m10s2241u(1).以A为原点其振动方程yA=3cos4πt(SI)波动方程)(4cos3uxty（2）以A为原点,求C、D点的振动方程]1[)SI)(54cos(3xt（方法?）法①把xc=－13,xD=9m代入波动方程[1]5134cos3tyC振一平面简谐波以速率u=20m/s沿直线传播.已知在传播路径上某点A的简谐运动方程为y=3cos4πt(SI).(1)以点A为坐标原点,写出波动方程.例题(2)写出传播方向上点C、点D的简谐运动方程;(3)以距点A为5m处的点B为坐标原点,写出波动方程;••••ABCDx8m5m9mu解:已知u=20m/s,ω=4π16)SI(534cos3t)SI(594cos3tyD法②C点振动超前A点53132m10s2241u(1).以A为原点其振动方程yA=3cos4πt(SI)波动方程)(4cos3uxty（2）以A为原点,求C、D点的振动方程]1[)SI)(54cos(3xt（方法?）法①把xc=－13,xD=9m代入波动方程[1]5134cos3tyC振把xB=－5m代入波动方程[1](3)以B为原点,先写出B点的振动方程tyC4cos3振)SI(534cos3t)SI(594cos3tyD同理得：17yB=3cos(4πt+π)(SI)uxtyB4cos3波)SI(54cos3xt)SI(534cos3t)SI(594cos3tyD法②C点振动超前A点53132把xB=－5m代入波动方程[1](3)以B为原点,先写出B点的振动方程tyC4cos3振)SI(534cos3t)SI(594cos3tyD同理得：思考题简谐波在t=2秒时刻的波形图，波的振幅为A=0.02m,周期为4秒，求图中P点处的振动方程。并写出该波方程。uoyxP.例图示为一平面18p点的初相为-π/2Yp=0.02cos(πt/2-π/2)(SI)t=0Δφt=2syωot=2s时，p点的位相为22TA=0.02m,T=4syB=3cos(4πt+π)(SI)uxtyB4cos3波)SI(54cos3xt思考题简谐波在t=2秒时刻的波形图，波的振幅为A=0.02m,周期为4秒，求图中P点处的振动方程。并写出该波方程。uoyxP.例图示为一平面π/2Δφ=ωΔt=π分析：19①uoyxP.确定A、ω、φ0y=Acos(ωt+φ0)分析：v0t=0Δφt=2syωoφ0=?②③波方程以p为原点：以0为原点：（π/2）（t=2s）φ2–φ0=ωΔt=πφ2=?（-π/2）A=0.02m,T=4sYp=0.02cos(πt/2-π/2)(SI)22T20。，TTu是线密度是绳的张力,（2）固体棒中的纵波，是质量密度是杨氏模量，YYu（3）固体中的横波是质量体密度切变模量，GGu例如（1）弹性绳上的横波附：波速与介质的关系通过波在介质中传播的动力分析，再与波动方程相比较，可得波的传播速度的大小只取决于介质的弹力与质元惯性。理想气体中的纵波(声波)波速mmMRTVMRTmPu,vpCC（4）流体中的纵波（如声波）