注册设备工程师10年培训课件3

一、不定积分五、平面曲线积分四、重积分积分学二、定积分三、广义积分六、积分应用一、不定积分1.不定积分概念定义：若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.在区间I上的原函数全体称为定义：上的不定积分xdd)1(xxfd)()(xf2.基本积分表从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思维xkd)1((k为常数)Cxkxxd)2(Cx111xxd)3(Cxln时0x)1(])ln([)ln(xxx121d)4(xxCxarctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cxcotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cxcosxx2sind)9(xxdcsc2Cxcotxxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln3.求不定积分方法（1）直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法(要求记住基本积分公式）.第一类换元的基本思路第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有dxxg)()]([)]([xdxfCxF)]([)()()(xfxFxf的原函数易求，且注：这里要求)(1baxdadx)()1(11baxdakdxxkk)(xxeddxe)0()(ln1xxddxx（2）换元积分法)(sincosxdxdx)(cossinxdxdx)cot()(arctan112xarcdxddxx)(arccos)(arcsin112xdxddxx)(21xddxx)(secsectanxdxdxx)(tancossecxddxxxdx221)(xddxx112xaaaxxdlnd12d1xx求例12dxx解：12)12d(21xxCx|12|ln21)12(21xddx第二类换元的解题思路为dxxf)(dtttftx)()]([)(Ct)()()]([)(ttftCx)]([1使用该公式的关键为在。单调可导，有反函数存)(.1tx易求。积分dtttf)()]([.2第二类换元常见类型有三角代换倒代换根式代换等（3.）分部积分法vuvud一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u.uvd（1）当被积函数为对数函数和反三角函数时,取被积函数为u(2)当被积函数为两种不同类型函数乘积时例3求积分.2dxexx解,2xu,dvdedxexxdxexx2dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx（再次使用分部积分法）,xudvdxexxdex222dxeexxxdxexx2xxxdeex22)(dxexeexxxx22Cxxex)(222例4已知)(xf的一个原函数是2xe,求dxxfx)(.解dxxfx)()(xxdf,)()(dxxfxxf,)(2Cedxxfx),()(xfdxxf两边同时对求导,得x,2)(2xxexfdxxfx)(dxxfxxf)()(222xex.2Cex2、定积分的性质badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数)性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(性质3baIdxxf)(iinixf)(lim10.1、定积分定义：二、定积分则0)(dxxfba)(ba性质5如果在区间],[ba上0)(xf，推论：则dxxfba)(dxxgba)()(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba)()(ba（2）dxba1dxbaab性质4如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf)(ba性质7(定积分中值定理)设M及m分别是函数则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba性质6上的最大值及最小值，积分中值公式3、积分上限函数的导数如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则dttfxFxbxa)()()()(的导数)(xF为)()()()(xbxadttfdxdxF)()()()(xaxafxbxbf如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.)]([)(babaxFdxxf也可写成牛顿—莱布尼茨公式.],[],[:上的增量它的任一原函数在区间上的定积分等于一个连续函数在区间表明baba4、牛顿—莱布尼茨公式5、定积分的计算法dtttfdxxfba)()]([)(换元公式（2）第二类换元法（3）分部积分法分部积分公式bababavduuvudv][（1）凑微分法6、重要结论（1）当)(xf在],[aa上连续，且有)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.2200cossin)2(xdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数dxxxxdxxxx102112121arcsinarcsin解：102)(arcsinarcsinxxdx2220dtttxtsinarcsindxxxx1121arcsin6求例dxxx2112)4(7计算例dxxx21124)(解：dxxxxx)]([112224428411dx三、广义积分(1)无穷限的广义积分adxxf)(babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.bdxxf)(baadxxf)(lim(2)无界函数的广义积分badxxf)(badxxf)(lim0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.badxxf)(badxxf)(lim0badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(lim0bcdxxf)(lim01.二重积分的性质Dyxfkd),(.1(k为常数)21d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxfDDdd1为D的面积,则Dyxfkd),(四、重积分（化为累次积分）特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设D的面积为,MyxfmDd),(则有7.(二重积分的中值定理)),(),(fdyxfD在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使连续,2.在直角坐标系下计算二重积分bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若D为X–型区域则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y–型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcyd则D解围成．由其中计算例2,1,..822xxyxyDdyxDxxDdyyxdxdyx12221222112)(dxyxxx213)(dxxx.49.,:211xxyxDDyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(3.在极坐标系下计算二重积分222ryx注：在极坐标系下有。，后对先对化为二次积分的顺序是r例9.计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:由于积分区域关于X轴对称，被积函数为偶函数，考虑上半圆。再利用极坐标cosRr原式2033d)sin1(32RyDRxo:Dcos0Rr20例10.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822yx2D22yxo21D221xy222280:22xxyD21DDD将:D视为Y–型区域,则282yxy20yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dyzxyD方法1.三次积分法vzyxfd),,(),(2yxzz),(1yxzz面上投影，投影区域为在将xoybxaxyyxyD)()(:21),(),(21yxzzyxz而),(),(21d),,(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd3.在直角坐标系下计算三重积分ab方法2.截面法（先二后一）xyzbaZDyxzyxfdd),,(ZDbayxzyxfzdd),,(dzzDzd记作],[baz轴上投影，投影区间为在将在该区间内作zDz的截面为轴的垂面，截2.在柱坐标系下计算三重积分zyxzyxfddd),,(zddd在柱坐标系下化三重积分为三次积分是将积分区域在某个坐标面上投影，将投影区域用极坐标表示，最后找出另一个坐标的变化范围。。最后对，，再对一般为先对柱坐标系下的积分顺序z3.在球面坐标系下计算三重积分zyxzyxfddd),,()cos,sinsin,cossin(rrrfdddsin2rr2222rzyx注：在球坐标系下有。，最后对，再对积分顺序一般为先对rtttttfsdyxfLd)()()](,)([),(22五、平面曲线积分)1(计算定积分转化且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分说明:!积分限必须满足1.对弧长的曲线积分的计算如果曲线L的方程为则有)()(,)(),(:ttztytxxxd)(12baxxf))(,(例11.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:)10(:2xxyL10xxxxd4110210232)41(121x)155(121上点O(0,0)1Lxy2xyo)1,1(B2.对坐标的曲线积分的计算法在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分)](),([ttP)(t)(ttd)](),([ttQ连续,存在,且有特别是,如果L的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad)](,[)](,[)(x例12.计算其中L为,:,0aaxyyBAoaax(1)