注册设备工程师10年培训课件4

第四章静态场边值问题的解法本章主要介绍泊松方程或拉普拉斯方程的求解。求解边值问题的方法，可以分为解析法和数值法两大类。拉普拉斯方程和泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程是静态场的基本方程。边值型问题的分类第一类边值问题（狄利赫利（Dirichlet）问题）：边界上的位函数已知。第二类边值问题（诺伊曼（Neumann）问题）：位函数在边界上的法向导数已知。第三类边值问题（混合边值问题）：部分边界上位函数已知，部分边界上位函数的法向导数已知。如果边界是导体，则上述三类问题分别变为：已知各导体表面的电位；已知各导体表面的总电量；已知一部分导体电位与另一部分导体的电荷量。边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法数学模拟法物理模拟法4.1直角坐标系中的分离变量法应用条件：界面形状适合用直角坐标系表示,既场域边界与正交坐标面重合或平行时。分析方法：用分离变量法求通解，重点是利用边界条件求定解。直角坐标系中的拉普拉斯方程：变量分离设拉普拉斯方程变为上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：其中、和为常数，但不能全为实数或全为虚数。常微分方程的解以常微分方程为例，其解的形式为：若为零，则若为实数，则若为虚数，即，则或其中双曲正弦曲线，通过原点对原点对称双曲余弦曲线，不通过原点，对y轴对称，顶点（同极小点）：A(0,1)求定解根据边界条件确定通解中的各个常数。请参照例题来学习体会。()gy和的情况与此类似。故拉普拉斯方程的解为()hz()()()fxgyhz例4.1.1求如图长方体积中的电位函数。边界条件为除z＝c面电位不为零外，其他各表面的电位都为零。Z＝c表面上给定的电位函数为U（x，y）。解：显然，长方形体积内的电位满足拉普拉斯方程。0222222zyx首先观察边界条件，有要满足在x=0，x=a的边界上，电位为零的边界条件，在f(x)的三种可能的解中只能有(,)0zcUxy其它12()sin()cos()xxfxAkxAkx根据x=0面上的边界条件得到即又根据x=a的边界条件，有从而得到f(x)的解的形式为2(0)0fA20A1()sin()0xfaAka1,2,3xnkna1()sin()nnnfxAxa同理，对于g(y)，有由分离常数之间的关系可知，h(z)只能或者是双曲函数，或者是指数函数，同样要根据边界条件来定。由于当z=0时，h(z)=0，显然采用双曲函数比较方便，代入边界条件：得到这里1()sin()mmmgyByb(0)0h11()()mnzmnnmhzCshkz1222zmnnmkab这样，长方形体积内电位的通解的形式为令为新的待定系数，对于具体的U(x,y)，可以利用三角函数的正交性，得出待定系数。例如对于代入z=C的边界条件，有122211(,,)sin()sin()nmmnnmnmnmxyzABCxyshzababmnnmmnCABC0(,)sinsinUxyUxyab1222011(,,)sin()sin()sinsinmnnmnmnmxyzCxyshcUxyababab两边同乘以利用三角函数的正交性，在0-a和0-b的区域对x和y积分，有即sinsinxyab0111222UCshcab0,1mnCmn122201222(,,)sinsinUxyzxyshzababshcab同理，假如代入边界条件，有同样利用三角函数的正交性，对上式两边同乘以在0-a和0-b的区域对x和y积分，有0(,)UxyU1222011(,,)sin()sin()mnnmnmnmxycCxyshcUababsinsinxyab1222000sinsin4abmnabnmnmshcCUxydxdyabab对等式右边积分，得到从而有C’nm由上式确定。如果有多个边界条件电位不为零，则可利用叠加原理，将问题分解为只有其中一个边界电位不为零，其余边界电位为零，分别求解，最后的解就是所有这些问题的解的叠加结果。01222216(21)(21)(21)(21)mnUCnmabnmshcab122211(21)(21)(21)(21)sinsinmnnmnmnmCxyshzabab例4.1.2：求如图所示导体槽内的电位。槽的宽度为d，在x和z方向都是无穷大，槽由两块L形的导体构成，两块导体间有一狭缝，外加恒定电压U0。解：由于在z方向是连续的，因此这个问题是个二维问题，电位只是x和y和函数。首先考虑边界条件，有以及当x趋于无穷时，电位应该有限。000yydU002020xUdyddy对于上面的二维边值问题，可采用叠代法求解，即将原来的边值问题分成如下两个边值问题的叠加来解决。即Φ1和Φ2分别是图（a）和图（b）的解对于图（a），当y=a时，电位为U0，当y=0时，电位为0，它相当于求两个无限大平板之间的电位，这是一个一维问题，即电位只在y方向有变化。电位满足的方程为：12(,)(,)(,)xyxyxy根据边界条件，得到：对于图（b），需首先找出x=0处的边界条件。由于问题的解是图（a）和图（b）问题叠加的结果，因此图（a）和图（b）边界条件的叠加应该等于原来的边界条件，即从而得到2120y01Uyd00122002(0,)()020xxUdydUyyddy这两个场叠加后，在y=0和y=d两平面上的边界条件与原题中的一样，而在x=0的平面上有也和原题相同。根据唯一性定理可知是我们所求的解。现在只需求解。由上述分析可见，场是对称于x=0平面的，只需求出时的解即可。为了满足y=0和y=d时的条件，g(y)必定取正弦函数；又因为时，应为零，所以f(x)应是随x衰减的函数，即取，再由，得。于是的解具有如下形式代入x=0的边界条件，得用乘上式两边，并对y从积分得只有当s为偶数时，才不为零，且有用2n代替s，n=1,2,3,…，得。于是和叠加后，得电位解为4.2圆柱坐标系中的分离变量法应用条件：界面形状适合用圆柱坐标系表示。分析方法：用分离变量法求通解，重点是利用边界条件求定解。圆柱坐标系中的拉普拉斯方程：当电位在z方向没有变化时，拉普拉斯方程简化为设代入，二维拉普拉斯方程被分离为两个常微分方程，即拉普拉斯方程变为要在r、φ取任意值时，上式都能成立，式中的每一项都必须是常数，即：1()()rfrrCfrrr2221()()gCg而且120CC则上式可分解为下列两个常微分方程令2212,CCγ是分离常数γ=0时，式（F-1）和式（F-2）的解是（F-1）（F-2）2()()0ddfrrrfrdrdr222()()0dggd00()lnfrCrD00()gABγ≠0时，式（F-1）可写为：22220dfdfrrfdrdr对于g(φ)，即式（F-2）的解为()sin()cos()gAB()frCrDr这是一个变系数常微分方程，称为欧拉（Euler）方程，即（式F-1）的解为：在许多实际问题中,坐标变量φ的变化范围是0—2π,而电位又必须是单值的,即()(2)这就要求()(2)γ应当是整数,以n表示(n=1,2,3,…).将上述各式中的γ换成n,则可得圆柱坐标中的二维拉普拉斯方程的同解是:(4.2.7)例：一根半径为r0的，介电常数为ε的无限长介质圆柱体，放置于均匀外电场E0中，且与E0相垂直。设外电场方向沿x，圆柱轴与z轴相合，如图所示。求圆柱内外的电位函数。解：在圆柱坐标中，外电场，可用一个电位函数表示，故有设柱内和柱外两个区域的电位函数分别为和，因圆柱无限长，它们均与z无关，解为二维通解对于，当时，圆柱介质极化的影响已不复存在，场仍然是原来的均匀场，所以有这是柱外区域中的一个边界条件。当时，然后用和分别乘上式的两边，对从积分，因为右边只有的余弦项，所以只有的项的系数不等于零，其余的项的系数都为零，所以得到且当时，，得到，故柱外区域的解为式中仍为待定常数。其次，圆柱内的解应为因为处，必须为有限制，故通解中所有r的幂项都不存在。这一条件为自然边界条件。和为两个区域的电位函数，它们在交界面处相衔接，应用介质交界面的边界条件，首先，时，。得到上式中同样只有的余弦项系数不等于零，即，而上式则为现利用时，得从以上所得的两个方程式，求解得于是得到圆柱体外和内的电位函数分别为圆柱体外和内的电场强度变量为上式中的第二式表示圆柱体内的电场是一个均匀电场，它的大小和外加均匀场相比要小，这是由于介质圆柱被极化后表面出现束缚电荷，它们的电场在圆柱内与外电场方向相反之故。应用条件：界面形状适合用球坐标系表示。4.3球坐标系中的分离变量法球坐标系中的拉普拉斯方程（我们只讨论场问题与无关的情形）在二维情况下，场在φ方向无变化，此时拉氏方程变为：02211()(sin)0sinrrrrr令代入，有：上式中f(r)和已分开在两项中，令分别等于常数和，得常微分方程的解（1）在该式中引入一个新的自变量,于是该式可变为上式称为勒让德方程。若我们研究的空间中包含从0到，即x从1到(-1)时，且取为则此时的勒让德方程只有一个有界解，它为m次多项式，称为勒让德多项式，记作。(2)在该式中代入式后，得(1)mm上式的两个解为和，故于是我们得到电位的解为1.分析问题，选坐标系，定坐标轴。2.列电位方程。3.变量分离，将偏微分方程转换为常微分方程。4.分析边界条件，确定解的一般形式。5.利用边界条件确定解中的常数。前提给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合，或者分段地与坐标面相合。在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，其中每个函数分别是一个坐标的函数。思路先将偏微分方程转换为常微分方程，再利用边界条件求解。解题步骤分离变量法小结4．4镜像法镜像法的原理在已知边界条件，已知电荷分布时，由于边界条件和电荷分布相互影响，直接求解泊松方程和拉普拉斯方程是比较困难的。此时，可在研究的区域之外，用假想的电荷来代替原来的边界，即：由假想的电荷和原来的电荷共同产生的场在边界上满足原来的边界条件，则在所研究的区域内的场即为真实电荷与假想电荷（又称为镜像电荷）产生的场的叠加。采用镜像法可以使这类问题的场解过程变得简单，但它的应用范围是有限的。思路用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。保持求解区域中场方程和边界条件不变。使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。步骤确定镜像电荷的大小和位置