机械控制工程(2)

第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程一、引言数学模型:描述系统动态特性的数学表达式时域数学模型：微分方程(连续系统)差分方程(离散系统)状态方程复域数学模型：传递函数(连续系统)Z传递函数(离散系统)频域数学模型：频率特性数学建模的一般方法：1.分析法：根据系统或元件所遵循的有关定律来建模2.实验法：根据实验数据整理拟合数模实验法列微分方程举例—OriginPro8实验法列微分方程举例—OriginPro8实验法列微分方程举例—OriginPro8),...,2,1,0(mjbj)()(...)()()()(...)()(01)1(1)(01)1(1)(txbtxbtxbtxbtxatxatxatxaiimimmimoononnon)(txi、)(txo、),...,2,1,0(niai连续系统的微分方程的一般形式：分别为系统输出和输入;为微分方程系数若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微分方程表示的系统为线性系统；否则，系统为非线性系统。对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统。oooii()3()7()4()5()xtxtxtxtxtoooii()3()7()4()5()txtxtxtxtxt2ooooii()3()7()4()5()xtxtxttxttxx2线性定常系统线性时变系统非线性系统线性系统的叠加原理列写微分方程的步骤如下：1.确定系统的输入量和输出量。注意：输入量包括给定输入量和扰动量2.按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。注意：负载效应，非线性项的线性化。3.消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。4.整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。()(1)o1o1o0o()()()()nnnnaxtaxtaxtaxt()(1)i1i1i0i()()()()mmmmbxtbxtbxtbxt二、列写微分方程的一般方法21FbvFv2v1b21ddvFmtFv2v1m21dktvFv2v1Fk质量弹簧阻尼一）机械系统211ditCv21ddiLvtv2v1iCv2v1iL21vRi电路元件两端电位差v21二）电网络电感电阻电容v2v1iR两端相对速度v21mfxkckxfmcxfkxcxmxmxcxkxf例1：图示机械系统m-c-k，列写微分方程。1.明确：2.牛顿第二定律列写原始微分方程：3.整理：系统输入f(t)系统输出x(t)d1ddiuLiRitCtddqit...1LqRqquC例2：图示电网络，列写微分方程。1.明确系统的输入与输出：输入u(t)，输出电量q2.列写原始微分方程：3.消除中间变量，并整理uiLRrTmfxJk1k2B1B21()Tk11()rkBfJ22...fmxBxkxxr122222...()()JmrxBBrxkrxrT例3：列写微分方程1.明确：输入T，输出x(t)2.微分方程：3.消除中间变量f、q，并整理：0i1i2u1u2R2R1C2C11112111()diRiituC222122111d()diRitiitCC2221dituC2221122112212212dd()dduuRCRCRCRCRCuutt例4：图示电网络，列写微分方程。1.明确系统的输入与输出：输入u1，输出u22.列写微分方程：3.消除中间变量i1、i2，并整理：aadaddiLiReutddekLddJMMtmaMkimamdmdmd1,,,TLRJTTCCRkkkJ令2ammdmam2LaLddddddTTTCCTCttuMtM例5直流电动机1.明确输入与输出：输入ua和ML，输出2.列写原始微分方程：3.消除中间变量，并整理：LRiauai2=constML励磁电流负载力矩ML电动机ua电机的反电势ed反电势常数kd电磁力矩M电磁力矩常数km得LRiauai2=constML励磁电流负载力矩damLCuCMa0L0uM(,,)da0mL0CuCMaa0auuuLL0LMMMammda0amaL0LmL0L()''()'()()()'()TTTCuuCTMMCMM设平衡点ammdamaLmL()''()'()'TTTCuCTMCM设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型当偏离平衡点时，有则增量化即有2LammdamamL2ddddddMTTTCuCTCMttt1.增量化方程与实际坐标方程形式相同2.当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。线性化的条件：1.非线性函数是连续函数(即不是本质非线性)。2.系统在预定工作点附近作小偏差运动线性化的方法：1.确定预定工作点(平衡位置)。2.在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式。3.忽略高阶小项。4.表示成增量化方程的形式。非线性方程的线性化油池高压油油池阀芯负载油缸qqAxymcp2p112ppp'''mycyAp'qAyd(,)c/qfpxxp例6液压伺服机构1.明确输入x，输出y2.列写原始微分方程液压油流量设滑阀特性000(,)qqxp0,00,000(,)(,)xpxpqqxqqxpxpxpp3.非线性函数线性化：(1)确定系统预定工作点(2)二元泰勒公式展开已略去高阶小量油池高压油油池阀芯负载油缸qqAxymcp2p1'''mycyAp'qAyd(,)c/qfpxxp例6液压伺服机构000(,)qqxp0,00,000(,)(,)xpxpqqxqqxpxpxpp3.非线性函数线性化：(1)确定系统预定工作点(2)二元泰勒公式展开qqccc1()'KKKKpxxqyKA'''mycyAp2cqc''(/)'(/)mycAKyAKKx(3)增量方程4.代入原方程整理得1.非线性项线性化后微分方程是增量形式的微分方程。2.线性化的结果与系统的预定工作点有关。3.非线性项线性化必须满足连续性和小偏差条件。线性化特点：如：本例中，不同预定点的kq、kc不同三、相似系统mxcxkxfuiLRmfxkc...1LqRqquC数学模型形式相同组成系统的物理元件不同相似系统：具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。相似量：21Fbv21ddvFmt21dktvF质量元件弹簧元件阻尼元件211dvtCi21ddvLit21viR电感元件电阻元件电容元件2.2系统的传递函数)()()(...)()()()(...)()(01)1(1)(01)1(1)(mntxbtxbtxbtxbtxatxatxatxaiimimmimoononnon连续系统的微分方程的一般形式：在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：)()...()()...(01110111sXbsbsbsbsXasasasaimmmmOnnnn)(......)()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsXnnnnmmmmio系统固有特性系统与外界联系)(......)()()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio传递函数传递函数定义：零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。11ooi()[()][()()]xtLXsLGsXs传递函数特点：1.传递函数是关于复变量s的复变函数，为复域数学模型；2.传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函数的分子反映系统与外界的联系；3.在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系统的传递函数4.物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数(相似系统)传递函数方框12,,...,mzzz12,,...,nppp120120()()...()()()...()(0)mnzzzbKppGpa零点：影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。极点：决定系统瞬态响应的收敛性，决定稳定性。放大系数(增益)：设阶跃信号输入对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。系统的稳态输出ii(),()/xtkXsksoo0lim()lim()tsxtssXi00lim()()lim()(0)/ssGsXsGsssskGk1212()()...()()()()...()nmKszszszGssppssp传递函数的零极点模型微分方程的特征根1u2u1112111()diRiituC222122111d()diRitiitCC2221dituC121111IIRIUCs2122221IIIRICsCsi1i2u1u2R2R1C2C1例1：求图示系统的传递函数1.确定系统输入与输出：2.列写原始微分方程：3.在零初始条件下，进行拉氏变换：222IUCsi1i2u1u2R2R1C2C12112211221221[()1]RCRCsRCRCRCsUU211221122121()()1GsRCRCsRCRCRCs4.消除中间变量，并整理得：121111IIRIUCs2122221IIIRICsCs222IUCs3.在零初始条件下，进行拉氏变换：5.传递函数u(t)iu(t)oR1R2oi()()xtKxt()GsKKo()Xsi()Xs系统传递函数往往是高阶的，高阶传递函数可化为比例、惯性、积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合1.比例环节动力学方程：传递函数：特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。例：mmLLN2N1——输出正比于输入五、典型环节传递函数ooid()(d())TxtKxxttt存在储能元件和耗能元件。阶跃输入时，输出经过一段时间才到稳态值。1()1GsRCs——输出的导数与输出之和正比于输入动力学方程：()1KGsTs传递函数：特点：2.惯性环节例1：例2：ioo()kxxcxoi11()11XkGscXcskTsskooicxkxkxio(())xtTxt()GsTso()Xsi()XsTs3.微分环节动力学方程：传递函数：特点：一般不能单独存在增加阻尼；强化噪声。——输出正比于输入的变化率o1iuRCu例1：R1R2uoiii1C微分运算电路o1i()()()UsGsUsRCsoi10dduuiCtRRqp1p2Akxixo21o()Appkx机械液压阻尼器——缓冲，减小偏移幅度油缸力平衡21io()ppqAxxR节流阀流量例2：ioo2kxxxARooi2()()()kXssXssXsAR()GsTs若T1oi1()()dxtxttT1()GsTso()Xsi()Xs1Ts4.积分环节动力学方程：传递函数：若输入单位阶跃信号xi(t)=1,Xi(s)=1/s特点：——输出正比于输入的累积量则输出为o2111()XsTssTs1oo1()[()]xtLXstT1).输出反映输入量的累积xi(t)=1xo(t)0Ttx(t)2).输出滞后于输入,经过时间T，输出才等于输入3).输出具有记忆功能经过一段时间后，输入变为0，输出稳定不变12()()()QtQtQt控制阀Q(t)1负载阀2Q(t)h(t))()(tAhdttQ