机械控制工程(7)

制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才第四章频率特性分析时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能。频域分析：通过系统在不同频率ω的谐波（正弦）输入作用下的稳态响应来研究系统的性能。制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才频率特性的基本概念及与传递函数的关系本章介绍的内容频率特性的表示方法极坐标图（Nyquist图）对数坐标图（Bode图）频率特性的特征量最小相位系统与非最小相位系统制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才)sin(11)(22/22arctgTtTKXeTKTXtxiioTt所以一、频率特性概述（1）频率响应：系统对谐波输入的稳态响应1.频率响应与频率特性1)(TsKsG若输入谐波信号为xi(t)=Xisint22)(sXsXii则221)()()(sXTsKsXsGsXiio例1有一阶系统22222222222)1/()1/(1)1/()(sTKXssTTKXTsTTKXsXiiio瞬态分量稳态分量制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才)sin(1)(22arctgTtTKXtxio输入:xi(t)=Xisinωt同频率幅值ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)系统的稳态分量：结果表明：221)(TKXXioTarctan)(相位制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比，即ioXXA)()(相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差()记为:A()·()或A()·ej()指数表示法2.频率特性与传递函数的关系一般系统的传递函数为:onnommioasasasabsbsbsbsXsXsGnnmm111111)()()(制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才输入信号为xi(t)=Xisint即22)(sXsXii22111111)()()(sXasasasabsbsbsbsXsGsXionnommionnmm则jsBjsBssAsXniiio*1)(若无重极点,则有)()(*1tjtjnitseBBeeAtxiio故tjtjeBBetxo*)(若系统稳定,则有求B与B*,jsBjsBssAsXsGniiii*122)(制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才jXejGjXjGBiijGj2)(2)()(结果jXejGjXjGBiijGj2)(2)()(*)()()()()(jGjGXXAio则系统的幅频特性和相频特性分别为：系统的频率特性记为G(j)=G(j)ejG(j))](sin[)(2)()()]([)]([jGtXjGjeeXjGtxiiojGtjjGtj所以欧拉方程制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才3.频率特性的求法(1)根据频率响应来求：首先输入正弦信号，求系统的稳态输出，根据频率特性的定义写出频率特性。(2)根据传递函数来求：将传递函数中的s换为jω来求。(3)实验方法制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才(1)根据频率响应来求：例（1）)sin(1)(22arctgTtTKXtxio例1中，稳态输出（频率响应）arctgTTKXXAio)(1)()(22jarctgTeTK221则系统的频率特性为或(2)传递函数→频率特性jarctgTjseTKjTKsGjG2211)()(arctgTjGTKjGA)()(1)()(22即)sin(1)(22arctgTtTKXtxio频率响应例1中，系统的传递函数1)(TsKsG制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才4.频率特性的表示法(1)解析表示(2)图示方法幅频—相频)()()()()()()()()(jGjGejGeAeXXjGjGjjjio幅频特性相频特性实频—虚频)()()(Im)(Re)()()(jVUjGjjGeAjGj实频特性虚频特性Nyquist图（极坐标图，幅相频率特性图）Bode图（对数坐标图，对数频率特性图）制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才二、频率特性的图示方法在工程分析和设计中，为了直观、方便，通常把频率特性画成一条曲线，在曲线上进行研究。常用的频率特性图示方法有2种：极坐标图、对数坐标图。频率特性的极坐标又称Nyquist图，也称幅相频率特性图。制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才给定，G(j)可以用一矢量或其端点（坐标来表示），矢量的长度为其幅值G(j)，与正实轴的夹角为其相角()，在实轴和虚轴上的投影分别为实部和虚部，相角()的符号规定为从正实轴开式，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。当从0∞时，G(j)端点的轨迹为频率特性的极坐标图，或称Nyquist图。Nyquist图表示方法制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才1.根据传递函数求G(j)。2.由G(j)求时频特性、虚频特性和幅频特性、相频特性3.求若干个特征点，（起点、终点、与实轴的交点以及所处的象限。）绘Nyquist图步骤制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才1.典型环节的Nyquist图(1)比例环节传递函数：G(s)=K频率特性：G(j)=K幅频：G(j)＝Ｋ相频：G(j)=0o实频：U()=K虚频：V()=0实轴上的一定点，其坐标为(K,j0)制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才1.典型环节的Nyquist图(2)积分环节传递函数：G(s)=1/s频率特性：G(j)=1/j=-(1/)j幅频：G(j)＝1/相频：G(j)=－90o实频：U()=0虚频：V()=－1/虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才1.典型环节的Nyquist图(3)微分环节传递函数：G(s)=s频率特性：G(j)=j幅频：G(j)＝相频：G(j)=90o实频：U()=0虚频：V()=虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才1.典型环节的Nyquist图(4)惯性环节当＝0时，G(j)=K，G(j)=0o当=1/T时，G(j)=-45o当＝时，G(j)=0，G(j)=-90o传递函数：1)(TsKsG频率特性：2222111)(TKTjTKjTKjG幅频：相频：G(j)=－arctgT实频：虚频：221)(TKU221)(TKTV221)(TKjG当ω从0时，其Nyquist图为正实轴下的一个半圆，圆心为(K/2,j0)，半径为K/2。制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才1.典型环节的Nyquist图(5)一阶微分环节传递函数：G(s)=1+Ts始于点(1,j0)，平行于虚轴频率特性：G(j)=1+jT幅频：相频：G(j)=arctgT实频：U()=1虚频：V()=T221)(TjG制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才1.典型环节的Nyquist图(6)振荡环节传递函数：2222)(nnnsssG频率特性：)10(2)(222nnnjjG幅频：相频：实频：虚频：222224)1(1)(U22224)1(2)(V22224)1(1)(jG212)(arctgjG当=0，即＝0时，G(j)=1，G(j)=0o；当=1，即＝n时，G(j)=1/(2ξ)，G(j)=－90o；当=，即＝时，G(j)=0，G(j)=－180o；22222222224)1(24)1(12)1(1)(jjjG（令λ=/n），制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才1.典型环节的Nyquist图(6)振荡环节当ω从0(即由0)时，G(j)的幅值由10，其相位由0o-180o。其Nyquist图始于点(1,j0)，而终于点(0,j0)。曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率n，此时的幅值为1/(2ξ)ξ0.707时，G(j)在频率为r处出现峰值(谐振峰值，r－谐振频率)0)(rjG由221nr22121)(rjG有显然rdn21nd（有阻尼固有频率）制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才1.典型环节的Nyquist图(7)延时环节传递函数：G(s)=es频率特性：G(j)=ej=cos－jsin幅频：G(j)＝1相频：G(j)=－实频：U()=cos虚频：V()=－sinNyquist图：单位圆制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才例1系统的传递函数)1()(TssKsG解系统的频率特性)1(1)()(2222TKjTKTjTKjG＝0，U()=－KT，V()=－，G(j)=，G(j)=－90ｏ＝，U()=0，V()=0，G(j)=0，G(j)=－180ｏ221)(TKTU)1()(22TKV221)(TKjG幅频：相频：G(j)=－90ｏ－arctgT实频：虚频：积分环节改变了起始点（低频段）制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才＝0，U()=－，V()=，G(j)=，G(j)=－180ｏ＝，U()=0，V()=0，G(j)=0，G(j)=－360ｏ例2系统的传递函数)1)(1()(212sTsTsKsG解系统的频率特性)1)(1()()1)(1()1(11)()(222221212222212221212TTTTKjTTTTKjTjTjKjG幅频：相频：G(j)=－180ｏ－arctgT1－arctgT2实频：虚频：222221211)(TTKjG)1)(1()1()(2222212221TTTTKU)1)(1()()(22222121TTTTKV211TTU()=0212/321)()(TTTTKV制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才3.Nyquist图的一般形状)()1()1()1()()1()1)(1()(2121nmjTjTjTjjjjKjGnm1)当ω＝０时：对0型系统，G(j)=K，G(j)=0ｏ，Nyquist曲线的起始点是一个在正实轴上有有限值的点；对Ⅰ型系统，G(j)=∞，G(j)=－90ｏ，在低频段，Nyquist曲线渐近于与负虚轴平行的直线；对Ⅱ型系统，G(j)=∞，G(j)=－180ｏ，在低频段，G(j)负实部是比虚部阶数更高的无穷大。2)当ω＝∞时，G(j)=0，G(j)=(m-n)×90ｏ。3)当G(s)包含有导前环节时，若由于相位非单调下降，则Nyquist曲线将发生“弯曲”。制作：华中科技大学熊良才、吴波、陈良才三、频率特性的对数坐标图(Bode图)1.Bo