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Chp.2系统的数学模型基本要求(1)了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电子网络的微分方程。(2)掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零点、极点及放大系数。(3)能够用分析法求系统的传递函数。(4)掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。(5)了解传递函数方框图的组成及意义；能够根据系统微分方程，绘制系统传递函数方框图，并实现简化，从而求出系统传递函数。(6)掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统的输出及传递函数的求法和特点。(7)了解相似原理的概念。(8)了解系统的状态空间表示法。重点与难点本章重点(1)系统微分方程的列写。(2)传递函数的概念、特点及求法；典型环节的传递函数。(3)传递函数方框图的绘制及简化。本章难点(1)系统微分方程的列写。(2)传递函数方框图的绘制及简化。数学模型数学模型：用以描述系统动态特性的数学表达式。微分方程（最基本，时域）差分方程(离散）传递函数（基本工具，复数域，单输入单数出）状态方程（多输入多数出）频率特性（便于实验获得，频域）如何建立数学模型？（1）初步建立：用物理学、力学知识（2）验证：理论和实验方法→获得较精确的数学模型§1微分方程一般表达式：若ai、bj为常数→线性定常系统；ai、bj是t的函数→线性时变系统；ai、bj依赖于xo，xi→非线性系统。叠加原理：线性系统满足设xi1(t)→xo1(t)xi2(t)→xo2(t)则a1xi1(t)+a2xi2(t)→b1x01(t)+b2x02(t)各输入产生的输出互不影响。分析多输入的总输出时，可单独分析单输入产生的输出，然后将输出量叠加。)()()()()()()()(01111000110110txbdttdxbdttxdbdttxdbtxadttdxadttxdadttxdaiimimmmimmnnnnnn拉氏变换定义：当t＜0时，f(t)=0,t＞0时，f(t)对任意t值有对应单值存在:则函数f(t)的拉氏变换为：象函数大写，原函数小写。性质：①齐次性：L[αf(t)]=αF(s)②线性定理：f(t)=h(t)+g(t)则F(S)=H(S)+G(S)③延时定理：L[f(t-α)]=e-αsF(S)④衰减定理：L[e-αtf(t)]=F(S+α)⑤相似定理：L[f(αt)]=1/α·F(S/α)⑥微分定理：⑦积分定理：推论：若初始条件为0则拉氏变换性质⑧初值定理：⑨终值定理：若f(t)在t→∞时存在，则拉氏变换性质典型函数的L变换①阶跃函数②单位斜坡函数③指数函数④幂函数：f(t)=tn⑤单位脉冲函数典型函数的L变换⑥正弦函数⑦余弦函数典型函数的L变换§2传递函数传递函数是经典控制理论中对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学工具．是在Laplace变换基础上建立起来的一种数学模型。对微分方程进行Laplace变换可将其化为代数方程。①表达的数学模型更直观，物理意义更明确；②将实数域的微积分运算→复数域的代数运算；③有时无须解题，直接在G(S)基础上导出系统的某些动态特性；④在G(S)基础上直接导出G(ω)，进行频域法分析。传递函数对线性微分方程：设初始条件为0（t0时，xi、x0及各阶导数均为0）对微分方程L变换：)()()()()()()()(01111000110110txbdttdxbdttxdbdttxdbtxadttdxadttxdadttxdaiimimmmimmnnnnnn)(][)(][011100111sXbsbsbsbsXasasasaimmmmnnnn传递函数定义：系统的传递函数G(S)为：讨论：（1）G(S)代表系统本身固有特性，与输入量大小及性质无关；（2）G(S)可以无量纲；（3）n≥m原因：实际系统总有惯性；（4）不同系统可用同一G(S)表达；（5）系统G(S)可化为各环节Gi(S)的组合。011101110)()()(asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmi开环与闭环系统的传递函数定义：前向通道传递函数反馈回路传递函数开环传递函数闭环传递函数推导如下：开环与闭环系统的传递函数讨论：（1）Gk(S)无量纲，GB(S)可有可无量纲；（2）相加点B(S)为负，→分母处为正“+”相加点B(S)为正，→分母处为正“-”；（3）若H(S)=1（单位反馈系统）则开环与闭环系统的传递函数干扰作用的G(S)系统干扰N(S)也可以看作一种输入。按线性叠加原理：N(s)=0时，Xi(s)=0时，同时作用：讨论：x0(s)几乎仅跟随xi(s)变化，N(s)影响很小。若H(s)=0，则x02(s)=G2(s)N(s)很大若系统参数变化，对系统的影响如同干扰。)()()(1)()()()(212101sHsGsGsGsGsXsXi)()()(1)()()(21202sHsGsGsGsNsXi)()()()()()(1)()()()(121202010sNsXsGsHsGsGsGsXsXsXi零点和极点对（因式分解，l为常数）零点：使G(s)=0的zj(j=1、2、…m)极点：使G(s)=∞的pi(i=1、2、…n)讨论:（1）闭环G(s)的极点就是闭环系统特征方程的根。（2）极点pi均在复平面的左半平面，则系统是稳定的。)())(()())(()(212101110111nmnnnnmmmmpspspszszszslasasasabsbsbsbsG环节的串并联复杂系统可划分成多环节组成，一般将复杂系统划分成零、一阶、二阶典型环节的串并联组合。1、环节串联：对n个环节串联环节的串并联2、环节并联：对n个环节并联如何划分环节？环节划分取决于组成系统的各物理元件（或环节、子系统）是否有负载效应。→可能几个物理元件的特性才组成一个传递函数的环节。→可能一个物理元件的特性分散在几个传递函数元件之中。§3典型环节的传递函数将复杂系统化成典型环节Gi(s)的串并联组合，就容易获得整个系统的G(s)。比例环节（放大～，零阶～）动力学方程：x0(t)=kxi(t)→x0不失真、不延迟、按比例反映xi。例：齿轮传动副ksXsXsGi)()()(0惯性环节（一阶惯性环节）微分方程：Tx＇+x0=kxi→惯性的含义：系统中含有储能元件（L、C、阻尼C、弹簧k）其输出落后于输入，由时间常数决定。例：阻容电路：1)(TsksG微分环节xo(t)=Txi＇(t)输出正比于输入的微分→G(s)=Ts不能单独存在，只能与其它环节共存。微分环节的作用：（1）使输出提前（预测输入）：如对比例环节Kp施加一速度函数即斜坡函数r(t)作为输入，则当Kp＝l时，此环节在时域中的输出x0(t)即为450斜线.若对此比例环节再并联一微分环节KPTs,则：（2）增加系统的阻尼：第一环节为KP→系统阻尼有关的系数为1微分环节的作用第一环节并联微分环节KPTds→系统阻尼有关的系数为(1+KPTds)＞1（3）强化噪声作用：对噪声也能预测，对噪声灵敏度提高，增大了因干扰引起的误差。微分环节的作用积分环节→（零输入条件）dttxTtxi)(1)(0TssG1)(振荡环节（二阶振荡环节）振荡环节是二阶环节中的0≤ξ＜1运动方程：Tx0″+T0x0′+x0=kxiωn:无阻尼固有频率，T=1/ωn：时间常数，阻尼比0≤ξ＜1例：作旋转运动的惯量-阻尼-弹簧系统2220221)(nnnsssTTsksG延时环节x0(t)=xi(t-τ)输出滞后输入τ，但不失真，一般不单独存在。滞后原因：启动时要克服摩擦力、内应力、液压气动管长。延时τ一般由实验测得。因为所以siesXsXsG)()()(000)()()()()(sisstisiesxtdeetxdtetx延时环节τ较小时，按泰勒展开后近似为惯性环节。惯性环节：一旦有输入便立刻有输出，但需延时τ才能接近所需要的输出量；延时环节：一旦有输入，不会立刻有输出，需延时τ才有输出，而输出会立刻不失真地反映输入。＃死区与惯性环节：机械传动副的间歇引起死区。相同点：在输入开始一段时间后才有输出。不同点：延时环节的输出完全等同于从一开始起的输入。死区的输出只反映同一时间的输入的作用，系统对死区段的输入作用，其输出无任何反映。注意：选择不同输入、输出量可改变G(s)的形式，但不会改变系统本身的固有动态特性。延时环节与惯性环节的区别§4G(s)框图系统特性可用微分方程或传递函数表示，也可用框图表示。每个框内是该环节的传递函数，按信号流向用箭头联系，便组成整个系统的传递函数框图。优点：①便于评价各环节对系统的影响；②利用框图简化，方便列写整个系统的传递函数；③形象反映各环节、各变量之间的关系。框图变换与化简：实际系统多为大环套小环的多回路复杂系统G(s)框图。变换：a)某些框图作位置上的变换；b)增加或取消一些框图。1、变换原则：变换前后系统等效（输入、输出不变）分支点：信号由一点分开的点。前移：分支回路上串入具有相同函数的框图；后移：分支回路上串入具有相同函数倒数的框图。G(S)框图变换②相加点：对信号求代数和的点。前移：分支回路上串入具有相同函数倒数的框图；后移：分支回路上串入具有相同函数的框图。G(S)框图变换G(S)框图变换③相邻相加点：④相邻分支点：其它如表：G(S)框图变换G(S)框图变换框图简化将套环解开，成为典型闭环传递函数的框图形式。示例1：框图简化示例2:示例3：传递函数的直接列写数之积）（每一反馈环的传递函积前向通道的传递函数之1)(sG条件：①仅一条前向通道；②各反馈环间存在公共传递函数框图。例:两个独立局部反馈回路，应先串联后再简化。§4信号流图S.I.梅逊（Mason)首先提出。系统传递方块图对分析研究控制系统是很有用的，但当系统结构很复杂时，方块图的简化过程也是很繁杂的。信号流图法是另一种表示复杂系统中各变量之间关系的图示方法，这种方法可以不用简化而宜接求得系统各变量之间的数学关系，能更迅速地获得复杂系统对于任何输入的响应，从而使问题的解决更为方便。信号流图定义1、定义：一种表示一组联立线性代数方程的图（s变量）。信号流图是表示线性代数方程组的一种结构图。当将信号流图法应用于控制系统时，首先必须将线性微分方程组变换成以s为变量的代数方程。然后按信号流图的有关规则，直接求出各变量之间的数学表达式，故在线性系统中得到广泛的应用。术语节点：表示变量或信号的点，小圆图。X0、X1、x2、x3、x4传输：每两个节点之间的增益。a、b、c、d等支路：连接两节点之间的定向线段。支路的增益即为传输值。输入节点(源节点或源点)：只有输出支路的节点。X0输出节点(汇节点或汇点)：只有输入支路的节点。x4混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。X1、x2、x3术语通路：从一个节点开始，沿支路箭头方向连续经过相连支路而终止到另一个节点(或同一节点)的路径统称为通路。如果通路与任一节点相交不多于一次，就称为开通路，如果通路的终点就是通路的起点，而且与任何其它节点相交小多于一次，就称为闭通路，闭通路又称反馈回路。回路：回路就是闭通路，回路中各支路传输的乘积，称为回路增益(或传输)。·不接触回路：回路没有任何公共节点，称为不接触回路。自回路：从一点开始，只经过一个支路，又回到该点的回路。前向通路：如果从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，称为前向通路。在前向通路中，各支路传输的乘积，称为前向通路增益。信号流图的性质1、信号流图是表达线性方程组的一种数学图形，当系统由微分方程(或差分方程)描述时，应先变换成代数方程并整理成因果形式。2、节点代表的信号即输出支路的信号，它等于所有输入支路信号的