机械控制理论

机械控制理论第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论经典控制理论现代控制理论线性定常系统线性定常、非线性、时变系统单输入—-单输出系统多输入—-多输出系统传递函数（或者微分方程）状态空间分析法（由状态变量构成的一阶微分方程组）只研究输入---输出的关系，不包含其他相互独立的中间变量的信息（即不包含系统的所有信息）输入---输出通过中间变量反映，反映了系统的全部独立变量的变化，即反映了全部内部状态经典控制理论和现代控制理论之间的区别2.研究方法第七章线性定常系统的状态空间分析与综合1.研究问题区别机械控制理论§7-1状态变量及状态空间表达式一、定义1、状态变量的定义：能够完全确定系统运动状态的最小个数的一组独立变量注：①、n阶系统（即用n阶微分方程描述的系统）有n个独立变量；②、状态变量不是唯一的，但数目是唯一的；③、状态变量在t=t0时刻已知时（初始条件），且t≥t0时输入给定时，可完全确定系统在任何时刻t≥t0时的行为（因n个独立的初始条件已知时，n阶微分方程有唯一确定的解）2、状态矢量第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论由n个状态变量x1(t),x2(t)…xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即12()()()()nxtxtxtxt或12()(),(),,()Tnxtxtxtxt3、状态空间和状态轨迹状态变量为坐标轴所构成的维空间称为状态空间。为状态空间的一个初始点，为状态空间中对应t时刻的一个点。当t由时在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。12nxxx、、、00()()ttxtxt()xt0tt()xt第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论4、状态方程由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。[例]建立如图所示R-L-C网络的状态方程。解:当给定独立变量和的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定，故选和为状态变量由电路原理得包含这两个状态变量的一阶微分方程组，即为状态方程即cuicuiccduicdtdiRiuLUdt第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在右端的标准形式，即为111ccuicRiuiULLL1cxu2xi若令写成矩阵形式112210011xxcuxxRLLL第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论01bLxAxbu12xxx12xxx101cAcLL或式中(要适应矩阵表达方法)写出状态方程的步骤：①确定状态变量（完全、确定的描述系统的最少独立变量个数）③写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在等式右端的标准形式②由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论1cxu1yx5、输出方程反映系统输出于状态变量间的函数关系式称为输出方程，对应例，若输出用Y表示，确定作为输出，则输出方程为或写成矩阵形式或式中(或)cyu1210xyxTycx0Tc＝110c步骤：①写入输出和状态变量的表达式②将该表达式写成矩阵形式第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论7、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性如之例取和为两个状态变量令和则即由电路原理（在原状态方程中消去i）cucu1cxu2cxu12cxux12xx11cccRuuuuLLcLc即21211RxxxuLcLLc第七章线性定常系统的状态空间分析与综合6、状态空间表达式状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式。机械控制理论可见在同一系统中，状态变量选取不同时，状态方程也不同。一般地，从工程实际出发，把容易测量的量作为状态变量。状态变量的非唯一性，如果是状态矢量，只有矩阵P是非奇异的（满秩），那么也是状态矢量。01011xxuRLcLLc第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论二、单输入---单输出定常系统状态空间表达式的一般形式设状态变量为12,,nxxx，，则状态方程的一般形式为：1111122112211222221122nnnnnnnnnnnxaxaxaxbuxaxaxaxbuxaxaxaxbu输出方程式一般有：1122nnycxcxcx写成向量矩阵形式的状态空间表达式为xAxbuTyCx第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论式中12nxxxx为n维状态矢量111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa为（nn）维系统矩阵（反映了系统内部状态的联系）12nbbbb为（1n）维矩阵（列阵）即为输入矩阵或者控制矩阵（反映了输入对状态的作用）第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论12ncccc为（1n）维输出矩阵，（建立了输出和状态的联系）11111221111122122112222211222211221122nnrrnnrrnnnnnnnnnrrxaxaxaxbububuxaxaxaxbububuxaxaxaxbububu第七章线性定常系统的状态空间分析与综合三、多输入--多输出的状态空间表达式（如具有r个输入，m个输出）状态方程一般为机械控制理论输出方程一般为11111221111122122112222211222211221122nnrrnnrrmmmmnnmmmrrycxcxcxdududuycxcxcxdududuycxcxcxdududu其状态空间表达式的矢量矩阵形式为xAxBuyCxDu式中和-----同单输入系统，分别为xAn维状态矢量和nn维系统矩阵12nuuuu-----为r维输入（或控制）矢量第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论12nyyyy-----为m维输出矢量1112121222123nnnnnbbbbbbbbbB-----为nr维输入（控制）矩阵1112121222123nnnnncccccccccC-----为mn维输出矩阵第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论-----为维直接传递矩阵（输入直接传递到输出）一般地（除特别说明），为简单起见，令，即不考虑输入矢量的直接传递作用。1112121222123nnnnndddddddddDmr0D第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论§7-2状态空间表达式的模拟结构图一、状态空间表达式的系统方块图1、什么是系统方块图及模拟结构图？以传递函数表示系统信号之间传递关系的图为方块图。用积分器表示的系统信号之间传递关系的图为模拟结构图。2、状态空间表达式结构图的绘制步骤：①确定积分器的数目，积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程的阶数；②每个积分器的输出表示相应的单个状态变量，输入为状态变量的系数；③根据状态方程和输出方程，确定加法器和比例器；④用箭头将这些元件连接起来。第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论3、状态空间表达式一般形式的系统方块图①单输入------单输出系统②多输入------多输出系统4、举例①画出的模拟结构图。②画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图分析：微分方程为三阶，故有3个积分器⑴先画出3个积分器；xaxbu210xaxaxaxbu第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论⑵将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达式，即为⑶其余系数项前的系数分别为各比例器的数值，输入项前的系数为输入比例器的数值，等式右端为4项的代数和，即加法器有4个分支输入。经过上述分析，不难画出：③画出有以下状态空间表达式描述系统的模拟结构图210xaxaxaxbu1223312312632xxxxxxxxuyxx第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论–解仿上例–第1步，先画出3个积分器；–第2步，由状态方程所确定的关系连接有关积分器；–第3步，由状态方程的关系式确定的关系，来自4路，分别相加；–第4步，画出输出方程的关系。对二输入二输出系统可仿照参考书，此处从略。第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论§7-3状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式建立的3种方式–①由系统的方块图，根据系统各个环节的实际连结；–②由（物理、化学、电子等）机理出发进行推导求得；–③由系统运动的微分方程和传递函数。一、由系统方块图建立状态空间表达式①该方法的关键是由方块图模拟结构图；②取每个积分器的输出作为一个状态变量，其输入是相应的；③根据实际连接写出状态方程和输出方程。第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论-+-+-11KT11T22KT1xy33KT1x2x3x4K21T例1、如图u4K+-33KTs221KTs111KTs第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论从图可知31232223221413311111KxxTKxxxTTKKKxxuTTT状态方程1yx输出方程第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为3322211411100010010100KTKxxuTTKKKTTTyx对于含有零点的环节，先展开成部分分式，即1111()1ssszzpzpspspp第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论二、从系统的机理出发建立状态空间表达式1000()0100axKKxKuzppzpyx1C[例7-2]电网络如图所示，输出量为电流源，并指定以电容和2C上的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式。第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论解：取电容1C和2C上的电压1Cu和2Cu及电感1L和2L中的电流1i和2i为状态变量。（四个独立储能元件，故有四个独立变量）第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论即令：11Cux22Cux13ix24ix从节点a、b、c,按基尔霍夫电流定律列出电流方程332211342244000aiixCxbCxxxcCxxi点：点：点：流经电容*注：22CduCdt的电流；2C流入节点为正；流出节点为负。从三个回路l1、l2、l3，按基尔霍夫定律列出电压方程131131242424132000LxxRixLxRiLxLxx第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论由以上6式消去独立变量3i和4i得1341111xxxCC由第1式得：3223iCxxi代入4式得由第2式得：122131131RCxLxxRxRi由3式得，4224iCxx代入5式得2222412313242RCxLxxRxLxLxx由6式13242LxLxx第七章线性定常系统的状态空间分析与综合机械控制理论从上式解出：111112221221221223311212111211211244212122212212212110010()()()1(