高中数学二次函数分类讨论经典例题

例1（1）关于x的方程0142)3(22mxmx有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围；（2）关于x的方程0142)3(22mxmx有两实根都在)4,0[内，求m的取值范围；⑶关于x的方程0142)3(22mxmx有两实根在3,1外，求m的取值范围（4）关于x的方程0142)3(22mxmmx有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围.解（1）令142)3(2)(2mxmxxf，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(f（思考：需要0吗？），即.421m（2）令142)3(2)(2mxmxxf，原命题等价于.55271,5370142)3(81601420)142(4)3(442)3(200)4(0)0(2mmmmmmmmmmff（3）令142)3(2)(2mxmxxf，原命题等价于0)3(0)1(ff即0142)3(690142)3(21mmmm得.421m（4）令142)3(2)(2mxmmxxg，依题得0)4(0gm或,0)4(0gm得.01319m例2（1）已知函数2)(2aaxxf，若0)(xf有解，求实数a的取值范围；（2）已知xxxf4)(2，当]1,1[x时，若axf)(恒成立，求实数a的取值范围。解：（1）0)(xf有解，即022aax有解2)1(2xa有解122xa有解.2|12|max2xa所以).2,(a（2）当]1,1[x时，axf)(恒成立.)]([minaxf又当]1,1[x时，5)1()]([minfxf，所以).5,(a【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）axf)(恒成立axfmin)]([；（2）axf)(恒成立axfmax)]([;（3）axf)(有解axfmax)]([；（4）axf)(有解.)]([minaxf例3已知函数3)12()(2xaaxxf在区间]2,23[上的最大值为1，求实数a的值。分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数a是否为零，如果)(,0xfa的最大值与二次函数系数a的正负有关，也与对称轴aax2210的位置有关，但f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必须用讨论法。解、0a时，3)(xxf，)(xf在]2,23[上不能取得1，故0a.)0(3)12()(2axaaxxf的对称轴方程为.2210aax（1）令1)23(f，解得310a，此时]2,23[20230x，因为0a，)(0xf最大，所以1)23(f不合适。（2）令1)2(f，解得43a，此时]2,23[310x，因为]2,23[31,0430xa，且距右端点2较远，所以)2(f最大，合适。（3）令1)(0xf，得)223(21a，验证后知只有)223(21a才合适。综上所述，43a，或).223(21a