2015年高考四川理科数学试题及答案解析

12015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年四川，理1】设集合{|(1)(2)0}Axxx，集合{|13}Bxx，则AB（）（A）1|3xx（B）|11xx（C）|12xx（D）|23xx【答案】A【解析】∵{|12}Axx，{|13}Bxx，{|13}ABxx，故选A．（2）【2015年四川，理2】设i是虚数单位，则复数32ii（）（A）i（B）3i（C）i（D）3i【答案】C【解析】3222iiii2iiii，故选C．（3）【2015年四川，理3】执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）（A）32（B）32（C）12（D）12【答案】D【解析】易得当1,2,3,4k时时执行的是否，当5k时就执行是的步骤，所以51sin62S，故选D．（4）【2015年四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）（A）cos(2)2yx（B）sin(2)2yx（C）sin2cos2yxx（D）sincosyxx【答案】A【解析】显然对于A，cos(2)sin22yxx，为关于原点对称，且最小正周期是，符合题意，故选A．（5）【2015年四川，理5】过双曲线2213yx的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则||AB（）（A）433（B）23（C）6（D）43【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为3yx，且右焦点(2,0)，则直线2x与两条渐近线的交点分别为A(2,23)，B(2,23)，∴||43AB，故选D．（6）【2015年四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个【答案】B【解析】这里大于40000的数可以分两类：①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有133472CA种；②当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，∴有132448CA种，综上所述：总共有72+48=120种，故选B．（7）【2015年四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，6AB，4AD．若点M，N满足3BMMC，2DNNC，则AMNM（）2（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过B建立直角坐标系，可得到0,6A，3,0M，4,2N，∴3,6AM，1,2NM，∴3129AMNM，故选C．（8）【2015年四川，理8】设a，b都是不等于1的正数，则“331ab”是“log3log3ab”的（）（A）充要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知条件333ab可得1ab．当1ab时，33loglog0ab．∴3311loglogab，即log3log3ab．∴“333ab”是“log3log3ab”的充分条件．然而取1133ab则log30log3ab，满足log3log3ab，却不满足1ab．∴“333ab”是“log3log3ab”的不必要条件．综上“333ab”是“log3log3ab”的充分不必要条件，故选B．（9）【2015年四川，理9】如果函数212810,02fxmxnxmn在区间1,22单调递减，则mn的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）812【答案】B【解析】'28fxmxn，由于fx单调递减得：∴0fx，∴280mxn在1,22上恒成立．设28gxmxn，则一次函数gx在1,22上为非正数．∴只须在两个端点处102f和20f即可．即128022280mnmn①②，由②得：1122mn．∴211121218222nnmnnn．mn当且仅当3,6mn时取到最大值18．经验证，3,6mn满足条件①和②，故选B．（10）【2015年四川，理10】设直线l与抛物线24yx相交于A，B两点，与圆22250xyrr相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）（A）1,3（B）1,4（C）2,3（D）2,4【答案】D【解析】设11,Axy，22,Bxy，5cos,sinMrr，则21122244yxyx，两式相减，得：1212124yyyyxx，当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l有两条．当直线l的斜率存在时，可得：1212121222sin4sinAByyryyxxkxxr，又∵sin0sin5cos5cosMCrkr，∴1cossinABMCkk，∴2cos22sinsincosrr由于M在抛物线的内部，∴2sin45cos204cos204212rrr，∴sin23r，∴2224sin423164rrrrrrr，因此，24r，故选D．xyBOMCA3第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年四川，理11】在521x的展开式中，含2x的项的系数是．【答案】-40【解析】由题意可知2x的系数为：22352(1)40C．（12）【2015年四川，理12】°°sin15sin75的值是．【答案】62【解析】36sin15sin75sin15cos152sin15452sin60222．（13）【2015年四川，理13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：°C）满足函数关系kxbye（2.718e为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在°0C的保鲜时间是192小时，在°23C的保鲜时间是48小时，则该食品在°33C的保鲜时间是________小时．【答案】24【解析】0+192kbe①，2248kbe②，∴221142kkee②①，∴当33x时，33kbex③，∴3331248192kkxeex③①．（14）【2015年四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为．【答案】25【解析】以AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，则0,0,0A，2,1,0F，1,0,0E，0,,2Mm，∴2,1,0AF，1,,2EMm∴22cos,55AFEMmAFEMm令22()(0,2)525mfmmm222(2)105252525()525mmmmfmm，0,2m，()0fmmax2()(0)5fmf，从而max2cos5．（15）【2015年四川，理15】已知函数2xfx，2gxxax(其中aR)．对于不相等的实数1x，2x，设1212fxfxmxx，1212gxgxnxx，现有如下命题：(1)对于任意不相等的实数1x，2x，都有0m；(2)对于任意a的及任意不相等的实数1x，2x，都有0n；(3)对于任意的a，存在不相等的实数1x，2x，使得mn；(4)对于任意的a，存在不相等的实数1x，2x，使得mn．其中的真命题有_______（写出所有真命题的序号）．【答案】(1)(4)【解析】(1)设1x，2x,∵函数2xy是增函数，∴1222xx，120xx，则1212()()fxfxmxx=12x1222xxx0，所以正确；(2)设12xx，则120xx，∴22121122121212gxgxxaxxaxnxxaxxxx不妨我们设121,2,3xxa，则60n，矛盾，所以(2)错．FEABCDPQM4(3)∵mn，由(1)(2)可得：12121212fxfxgxgxmnxxxx，化简得到，1212fxfxgxgx，也即1122fxgxfxgx，令22xhxfxgxxax，即对于任意的a函数hx在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x，2x．则2'2ln2xhxxa，2()2ln2xhxxa，显然当a时，'0hx恒成立，即hx单调递增，最多与x轴有一个交点，不满足题意，所以错误．(4)同理可得1122fxgxgxfx，设22xhxfxgxxax，即对于任意的a函数hx在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x，2x，从而hx不是恒为单调函数．'2ln22xhxxa，2''2ln220xhx恒成立，∴'hx单调递增，又∵x时，'0h，x时，'0h．所以hx为先减后增的函数，满足要求，所以正确．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年四川，理16】（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和12nnSaa，且1a，21a，3a成等差数列．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}na的前n项和nT，求得使1|1|1000nT成立的n的最小值．解：（Ⅰ）当2n时有，11112(2)nnnnnaSSaaaa，则12nnaa(2)n，12nnaa-=()2n³，∴数列na是以1a为首项，2为公比的等比数列．又由题意得21322aaa，1112224aaa，∴12a，∴2nna*()nN（Ⅱ）由题意得112nna，∴111[1()]11221()12212nnnniiT，则2111-=()22nnT（），又1091111,210242512，即11110241000512111000nT成立时，n的最小值为10n．（17）【2015年四川，理17】（本小题满分12分）某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设事件A表示“A中学至少有1名学生入选代表队”，可以采用反面求解：33343366199()11100100CCPACC（Ⅱ）由题意，知1,2,3X，3133461(1)5CCPXC；2233463(2)5CCPXC；1333461(3)5CCPXC因此X的分布列为：期望为：131()1232555EX