高中数学必修四知识点大全

/281知识点串讲必修四/282第一章：三角函数1.1．1任意角1、角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角的名称：③角的分类：2、象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意：⑴k∈Z⑵α是任一角；⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷角α+k·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．3、写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)．解:{α|α=90°+n·180°,n∈Z}．4、已知α角是第三象限角，则2α，2各是第几象限角？解：角属于第三象限，k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)即(2k+1)360°＜2α＜(2k+1)360°+180°(k∈Z)故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．又k·180°+90°＜2＜k·180°+135°(k∈Z)．当k为偶数时，令k=2n(n∈Z)，则n·360°+90°＜2＜n·360°+135°(n∈Z)，当k为奇数时，令k=2n+1(n∈Z)，则n·360°+270°＜2＜n·360°+315°(n∈Z)，负角：按顺时针方向旋转形成的角始边终边顶点AOB正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角/283因此2属于第二或第四象限角．1.1.2弧度制1、弧度制我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下,1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．2、弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为;rr②整圆所对的圆心角为.22rr③正角的弧度数是一个正数．④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零．⑥角α的弧度数的绝对值|α|=.rl3、弧长公式rlrl弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．.,,216.是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例RllRS证法一:∵圆的面积为2R,∴圆心角为1rad的扇形面积为221R,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为Rlrad,∴扇形面积lRRRlS21212．证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为3602RnS，又此时弧长180Rnl，∴RlRRnS2118021．可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．22121:RlRS扇形面积公式/2841.2.1任意角的三角函数1、三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin，即sinyr；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cos，即cosxr；（3）比值yx叫做α的正切，记作tan，即tanyx；（4）比值xy叫做α的余切，记作cot，即cotxy；2．三角函数的定义域、值域3、求函数xxxxytantancoscos的值域解：定义域：cosx0∴x的终边不在x轴上又∵tanx0∴x的终边不在y轴上∴当x是第Ⅰ象限角时，0,0yxcosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2…………Ⅱ…………,0,0yx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2…………ⅢⅣ………,0,00,0yxyx|cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=04、诱导公式)Z(tan)2tan()Z(cos)2cos()Z(sin)2sin(kkkkkk5、三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)xy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.函数定义域值域sinyR[1,1]cosyR[1,1]tany{|,}2kkZRoxyMTPAxyoMTPA/285由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有sin1yyyMPr，cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMOA我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。说明：（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。6、利用三角函数线比较下列各组数的大小：132sin与54sin232tan与54tan解：如图可知：32sin54sintan32tan54oxyMTPAxyoMTPA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）/2861.2.2同角三角函数的基本关系1、由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：1.（1）商数关系：consintan（2）平方关系：1sin22con2、已知12sin13，并且是第二象限角，求cos,tan,cot．解：22sincos1，∴2222125cos1sin1()()1313又∵是第二象限角，∴cos0，即有5cos13，从而sin12tancos5，15cottan123、已知cos2sin，求cos2sin5cos4sin4、求证：cos1sin1sincosxxxx．证法一：由题义知cos0x，所以1sin0,1sin0xx．∴左边=2cos(1sin)cos(1sin)(1sin)(1sin)cosxxxxxxx1sincosxx右边．∴原式成立．证法二：由题义知cos0x，所以1sin0,1sin0xx．又∵22(1sin)(1sin)1sincoscoscosxxxxxx，∴cos1sin1sincosxxxx．证法三：由题义知cos0x，所以1sin0,1sin0xx．cos1sin1sincosxxxxcoscos(1sin)(1sin)(1sin)cosxxxxxx22cos1sin0(1sin)cosxxxx，∴cos1sin1sincosxxxx．222sin2sincoscos．/2871．3诱导公式1、诱导公式（一）tan)360tan(cos)360(cossin)360sin(kkk诱导公式（二）tan)180tan(cos)180cos(sin)180sin(诱导公式（三）tan)tan(cos)cos(sin)sin(诱导公式（四）sin(－)=sincos(－)=－costan(－)=－tan诱导公式(五)sin)2cos(cos)2sin(诱导公式（六）sin)2cos(cos)2sin(2、化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(3、.)3cos(4)3tan(3)sin(2,0cossin,54)sin(的值求且已知4、化简:);2cos()2sin(25sin2cos)1(.)sin()360tan()(cos)2(o25、.273021cos,sin2的两根，且的方程是关于已知axxx.)900sin()180cos()6cos()2sin()6tan(的值求/2881.4.1正弦、余弦函数的图象1、正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(2,1)(,0)(23,-1)(2,0)余弦函数y=cosxx[0,2]的五个点关键是哪几个？(0,1)(2,0)(,-1)(23,0)(2,1)3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：1(1)sin;2x15(2)cos,(0).22xx1.4.2正弦、余弦函数的性质1、奇偶性：y=cosx是偶函数y=sinx是奇函数。2、单调性正弦函数在每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.3、有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx的对称轴为x=2kk∈Zy=cosx的对称轴为x=kk∈Z4、判断下列函数的奇偶性(1)1sincos();1sincosxxfxxx(2)2()lg(sin1sin);fxxxy=cosxy=sinx23456--2-3-4-5-6-6-5-4-3-2-65432-11yx-11oxy/2891.4.3正切函数的性质与图象1、正切函数tanyx的定义域是什么？zkkxx,2|2、Rxxytan，且zkkx2的图象，称“正切曲线”。3、正切函数的性质（1）定义域：zkkxx,2|；（2）值域：R观察：当x从小于zkk2，2kx时，tanx当x从大于zkk2，kx2时，xtan。（3）周期性：T；（4）奇偶性：由xxtantan知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间zkkk2,2内，函数单调递增。4、求下列函数的周期：（1）3tan5yx答：T。（2）tan36yx答：3T。说明：函数tan0,0yAxA的周期T．5、求函数33tanxy的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，解：1、由233kx得1853kx，所求定义域为zkkxRxx,1853,|且2、值域为R，周期3T，3、在区间zkkk1853,183上是增函数。O0232223yyxx/28101.