机械能守恒定律的建立

机械能守恒定律的建立在对钟摆的研究中，惠更斯注意到这样一个事实：“即使除去空气和其他阻力之后，运动中摆的重心在下降和上升之时，必定是描出了相等的弧。”他的这个见解正是对伽利略早年关于“物体下落所能达到的速度使之跳回原来的高度而不会更高”这一原理在重心问题上的应用。虽然他们这种见解都还只是表观的，但为建立机械能守恒定律奠定了基础。1666年，刚成立不久的英国皇家学会在其例会上，曾提出要求物理学家研究一下当时尚属空白的碰撞现象。到了1668年前后，惠更斯和其他两位科学家对碰撞现象作出了比较正确的解释。惠更斯认为在这种碰撞(弹性碰撞)中除了动量守恒以外，还有另一个物理量，即当时称之为“活力”的mV2，也是守恒的。莱布尼茨最早引进了“活力”概念，认为宇宙中“活力守恒”，并替mV2之后，莱布尼茨的发现才得到准确的表述：所作的功等于动能的增加。1738年，D·伯努利在他的《流体力学》中引入了“势函数”这一概念，提出了实际的下降和位势的升高的等同原理。他把这一思想用于理想流体的运动，得出了著名的伯努利方程。这一系列发现，已经突破了“活力守恒”的局限，非常接近于后来所说的机械能守恒原理。3．机械能守恒定律(1)机械能守恒定律内容在只有重力做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但总的机械能保持不变。这个结论叫机械能守恒定律。(2)机械能守恒定律的表达式对不同的物理过程可以应用不同的表达形式：①E1=E2；即前后状态系统的机械能守恒。②ΔEk=-ΔEp；即系统动能的增量等于系统势能的减少量。③ΔEA=-ΔEB；即A物体增加的机械能等于B物体减少的机械能。④机械能守恒定律中的V，h都是相对量，速度V必须相对同一惯性参考系，而h零点的选择对机械能守恒的计算不产生影响。(3)机械能守恒的条件①物体系统只受重力或弹力(此力现阶段仅为弹簧的弹力)时系统机械能守恒。②物体系统除受重力和弹力外还受其他力作用，但其他力一直对系统不做功，此系统机械能守恒。③物体系统除受重力和弹力外还受其他力(此力包括内力)作用，但其他力做功的代数和为零，系统机械能守恒。4．机械能守恒定律的应用(1)由于组成机械能的势能是系统具有的，因而机械能守恒定律的研究对象是物体系统。地球表面单个物体往往也应用机械能守恒定律，是因为地球和物体相作用过程中地球几乎不动，就不考虑地球动能和势能变化罢了。(2)应用机械能守恒定律，只须考虑相互作用的物体系统的初、末状态的物理量，而不须中间过程的复杂变化的讨论，使处理的问题简单化。(3)应用机械能守恒定律时，相互作用的物体间的力可以是变力，亦可以是恒力。但不能有耗散力，否则机械能不守恒。(4)应用机械能守恒定律的基本步骤：①明确物体系统的组成。②分析物体系统运动过程中机械能是否守恒。③若满足机械能守恒条件，则应列机械能守恒方程。④如果物体运动由几个不同的物理过程组成，则应分析每个过程机械能是否守恒，还要分析过程的联接点有无能量损失，只有无能量损失才能对整体列机械能守恒式，否则只能对每段列相应的守恒关系。【例1】如图6-27所示的装置中，木块M与地面间无摩擦，子弹以一定的速度沿水平方向射向木块并留在其中，然后将弹簧压缩至最短。现将木块、子弹、弹簧作为研究对象，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中系统的[]A．动量守恒，机械能守恒；B．动量守恒，机械能不守恒；C．动量不守恒，机械能守恒；D．动量不守恒，机械能不守恒。【分析思路】物体系统的动量守恒的条件是系统合外力为零，与内力有无和大小无关；系统机械能守恒的条件是各力做功的代数和为零，其中包括内力做功，合外力可以不是零。组成系统的物体包括子弹、M、弹簧，在子弹作用直至把弹簧压缩到最短的过程中，应分为两个作用过程：子弹打击木块A，由于作用时间较短，可以认为子弹与A作用时没有引起A的位移，即弹簧没有发生形变，合外力为零，A与木块系统的动量守恒，但内力摩擦力做功不为零，故A与木块作用时有能量损失，机械能不再守恒。子弹打入木块A中并留在A中一起压缩弹簧的过程中，墙给系统作用力，故动量不守恒，但此过程只有弹簧的弹力做功，满足机械能守恒的条件，此过程机械能守恒。【解题方法】根据动量守恒和机械能守恒的条件，明确组成系统物体，对作用的不同过程进行受力分析，并分析其中力的做功情况。【解题】子弹打击木块A，子弹和A组成系统，由于作用时间短，弹簧还未发生形变，合外力为零，系统动量守恒。子弹对A的摩擦力对A做的功(A的位移很小)，小于子弹克服摩擦力做功，机械能减少，机械能不守恒。在压缩过程中，系统受墙的冲量，动量不守恒但机械能守恒，因系统没有摩擦力做功。若从开始作用直到将弹簧压至最短作为一个过程，组成系统的木块M、子弹和弹簧既受外力做用又有除弹力以外的力做功，所以系统的动量和机械能均不守恒守，答案选D。【例2】如图6-28所示，小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点正下方有一个固定的钉B，OB=d，开始时小球A与O在同一水平面无初速释放，绳长为L，为使球能绕B点做圆周运动，试求d的取值范围。【分析思路】物体做圆周运动时，一般受到一个拉力和重力作用，而拉力又是指向圆心的，此拉力始终对物体不做功。因此一般圆周运动往往和机械能守恒结合在一起进行解题。小球A由静止释放后作圆周运动，到达最低点遇到B钉后，球的速度不发生变化(能量不能突变)，运动半径将减小，小球A将以新的半径做圆周运动。若B点位置越低，由机械能守恒到达最高点速度越大，越易完成圆周运动(绳使物体做圆周运动在最高点的最小速度为V，满足运动为d值的最小值。整个过程均满足机械能守恒。【解题方法】小球A的整个运动过程中只有重力做功，均满足机械能守恒定律，只要对整个过程的初、末状态列机械能守恒方程即可，不必涉及中间环节。当小球A刚好到达D时，仍做圆周运动，绳的拉力为零，只有重力提供向心力。【解题】球A由初始位置到D过程中，只有重力做功，所以满足机械能守恒。设刚好能完成圆周运动的OB长度为d1，则：∴r=0.4L由d1=L-r=L-0.4L=0.6L所以d的取值范围为：0.6L≤d＜L【例3】如图6-29所示，长为2L的轻杆上端及其正中央固定两个质量均为m的小球，杆竖直立在光滑的水平面上，杆原来静止，现让其自由倒下。设杆在倒下过程中着地端始终不离开地面，则A着地时的速度为[]【分析思路】杆立在光滑水平面上，受到扰动后将倒下，在倒下过程中，因O点位置不变可以看做是杆的下端用光滑铰链将其固定在水平面。即地面给杆有力的作用，但该力并不对它们做功。在杆向下倾倒的过程中，系统只有重力做功，满足机械能守恒的条件。但作为组成系统的A球、B球它们各自的机械能并不守恒，这一点也是学生易出现的错误。在杆倒下的过程中A、B两球通过杆产生相互作用，并且相互作用力分别对A、B球做功，显然两者做功的代数和为零。由于A、B球由同一杆相连，因而满足圆周运动的同轴问题，具有共同的角速度。【解题方法】相互作用的A、B两球，虽然存在着内力做功问题，但做功代数和为零，系统机械能守恒。结合圆周运动中角速度相同时，线速度与半径成正比解题。【解题】将A、B球视为系统。此系统在运动过程中，只有重力做功，系统机械能守恒，则有：系统在运动过程中，受地面竖直向上的弹力，重力亦在竖直方向上，因此落地时其速度只可能竖直向下，没有水平分量。它们绕共同轴O点转动，其角速度相同，有：【例4】长度L的均匀链条放在光滑的水平桌面上，且使其长度链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？力作用下，整个链条一起运动。运动过程中，下垂部分变大，而桌面上的部分变小，即作用于链条加速的力变大，属于变力问题。在链条下移过程中的作用力是复杂的，但整个过程却只有重力对它做功，所以满足机械能守恒。尽管下移过程中，两部分的质量在变，重力做功却是确定的，等于重力势能的减少。因而应用机械守恒就较容易解决这种变力、变质量问题，其他方法则无能为力。【解题方法】由于链条在不同位置的重力势能不同，所以应明确相应部分的重力势能，或找出整个过程的势能变化，列机械能守恒求解。【解题】设链条所在的水平桌面为零势能面，则由机械能守恒定律有：【例5】如图6-31(a)所示，用长为L的细绳悬挂一质量为m的小球，再把小球拉到A点，使悬线与水平方向成30°角。然后松手，问小球运动到悬点正下方B点时悬线中的张力多大？【分析思路】小球自A点到B点应分为两个阶段。小球从A释放后，由于绳松驰，所以球作自由落体，直到将绳拉直，即关于释放位置的对称点C处。如图6-31(b)所示。以后进入圆弧轨道，小球进入圆形轨道时只有切线方向速度，而自由落体的小球A在C点的速度是向下的，故径向分量由于绳的作用而变为零。因此该连接点处有能量损失。在以后运动中只有重力做功，机械能守恒。在最低点小球仍为圆周运动的一部分，绳的拉力和重力的合力提供了小球作圆周运动的向心力。【解题方法】球自A到C由自由落体(或机械能守恒)求到达C点的竖直向下的速度，由运动的分解求出切向分量；再由机械能守恒定律及圆周运动求绳子中张力的大小。【解题】球从A到C下落位移为L，速度为VC，由自由落体知：由机械能守恒定律求出运动到B点时的速度VB。在B点对球受力分析，由牛顿第二定律得【例6】在光滑水平轨道上有A、B两滑块，B滑块的质量为mB，上面装有不计质量的轻弹簧，A滑块质量为mA，它以速度VA撞击B，如图6-32。(1)如果B上所装的弹簧被压缩到最短时形变不再恢复，求这时A、B的速度；(2)若B上所装弹簧压缩后能恢复原长，求弹簧恢复原长时A、B的速度；(3)讨论上述每种情况满足什么条件时，B对A冲量最小和最大；(4)讨论上述每种情况满足什么条件时，B对A做的功最多和最少？【分析思路】在A、B碰撞弹簧压缩阶段，A受到的弹力与运动方向相反，随着弹簧的压缩弹力越来越大，加速度的值也越来越大，由于它和速度方向相反，因此A的速度减小率越来越大，A的速度越来越小。同理，B受到弹力与运动方向相同，随着弹簧的压缩，弹力越来越大，加速度的值也越来越大，由于它和运速度方向相同，因此B的速度的增加率越来越大，B的速度越来越大。其物理过程如图6-33所示。因弹簧被压缩后不能恢复，最终将达到A、B具有共同的速度。在弹簧能恢复原长时，压缩过程同上述分析过程。在恢复阶段，A受弹力的方向仍与运动方向相反，根据上述同样的分析方法可知A的速度仍在继续减小，而B的速度仍在增加，到弹簧恢复原长时，弹力为零。此时A的速度为它的最小速度，而B的速度为它的最大速度。其物理过程如图6-34所示。【解题方法】(1)在A、B把弹簧压缩到最短时弹簧不能恢复形变，这时A、B的相对速度为零，A、B有一个共同速度V共。这个速度就是A的最小速度，也是B的最大速度。把A、B(包括弹簧)作为一个系统，由于该系统水平方向不受任何外力，所以系统水平分动量守恒，从而可求出A和B的共同速度。(2)弹簧能恢复原长，说明弹簧的弹性势能又完全转化为滑块A和B的动能，这时不但水平方向动量守恒，而且机械能也守恒。设系统分离时滑块A和B的速度分别为VA＇和VB＇，方向都沿x正方向。由两个守恒定律可求出VA＇和VB＇的值。(3)在讨论B对A的冲量时，只能应用动量定理讨论，在研究B对A做功时也就只能应用动能定理进行讨论了。【解题】(1)设A滑块原来的速度VA的方向为正方向。由水平方向动量守恒知mAVA=(mA+mB)V共(2)由于系统水平方向动量守恒和系统的动能守恒，则有：上述二式联立求解得：由②式可以看出，mA和mB相对大小不同，滑块A可继续向前运动(当mA＞mB时)，可以静止(当mA=mB时)，也可以反弹(当mA＜mB使VA＇＜0时)，但VA＇的大小总是小于VA。由③式可见，VB＇总是向前运动的。(3)由动量定理，A受到的冲量式中的负号表示A受到的冲量与正方向相反，即沿x负方向。冲量大小为mA(VA-VA＇)。其中mAVA是恒定的，因此冲量IA的大小由VA＇的大小所决定，而VA＇的大小在两种不同情况下由不同条件决定。第一种情况：由①式得可见当mAmB时，VA＇≈VA为最大，这时IAmin=0；当mBmA时，VA＇≈0