机械能守恒问题也要分析过程

机械能守恒问题也要分析过程邬鹏举（包头市第一中学，内蒙古包头市014040）某参考资料中出现一道机械能守恒的计算题，原题及详解如下：一轻绳通过无摩擦的定滑轮和在倾角为300角的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在光滑竖直杆上的物体m2连接，设定滑轮到竖直杆距离为3m，又知物体m2由静止从AB连接为水平位置开始下滑1m时，m1和m2受力恰平衡，如图所示.（g=10m/s2）求：（1）m2下滑过程中的最大速度；（2）m2沿竖直杆能够下滑的最大距离。原题解析：（1）m1、m2与地组成的系统的机械能守恒，物体m2由静止开始先做加速度不断减小的加速运动，当加速度减小到零时，速度最大，此时m2受力平衡。随后m2向下做加速度不断增大的减速运动，速度为零时，m2下滑到最大距离。选取AB水平面为重力势能零势面，设m2的最大速度为Vm。对m2从B到C的过程中，设开始时斜面上绳长为l1，m2到C时斜面上绳长为l2，由机械能守恒定律：02201111221211sin30sin3022mmglmVmVmghmgl，（1）设∠ACB=，tan=3，=600，则V1=Vmcos=0.5Vm，（2）又，12(23)llACABm，（3）再根据m1、m2此时受力平衡，可知绳子拉力：Tcos=m2g，T=m1gsin，所以m2=0.25m1。（4）将（2）（3）（4）代入（1）式，整理得：(233)2.15/mVgms。（2）设m2沿竖直杆能够下滑的最大距离为H，设此时斜面上绳长为l3，则由机械能守恒定律：0011213sin30sin30mglmgHmgl，又21333llH，代入上式解得432.313Hmm评析：此题的确为一道典型的机械能守恒问题，但却是一道过程很复杂的题目，题目中提到m2下落1米时m1、m2都平衡，意味着在此时刻m1和m2同时达到最大速度，否则必然存在一个物体有加速度而另一个物体加速度为零的情况。但是实际运动的情况是否如题中分析呢？我们可以做如下推导：因为运动过程中机械能守恒，所以m2减少的重力势能等于m1增加的重力势能和m1与m2各自增加的动能。由此可列方程如下：222021122111(33)sin3022mghmvmvmgh，其中1223hvvh，代入左式得：202021212122212122222(33)sin3022(33)sin30;333mghmghmghmghhvvhhhmmmmhh按题目中所给条件m1=4m2的结论代入结果中，并以h为横坐标、v1和v2为纵坐标作函数图象如图1（注：本文所有数据图中的单位都统一如下：时间（妙）、高度位移（米）、加速度（米每二次方秒））。从图上可以看出m1和m2并不是同时达到最大速度，意味着题干中m1和m2同时平衡的假设是不成立的。为了更进一步图1了解系统运动过程的详细情况，即运动物体的各个物理量（位移、速度、加速度）随时间的变化情况，我们用微分方程来列一下本题中的运动情景。本题中两个物体都是受完整约束的有势系，因此可以用完整有势系的拉格朗日方程来表示，我们以m2运动位移h作为广义坐标，AB平面为重力势能零势面，拉格朗日函数可表示如下：1222202121211(33)sin30223mhLTVmhmhmghEpmghh，Epm1为m1的初态重力势能。写出拉格朗日方程：0dLLdthh，把L的表达式代入得：2202112122223sin3003(3)3hhhmhmhmhmgmghhh，同样把m1=4m2的结论代入左式，并使用Matlab数值求解微分方程，可分别求得h随时间的变化，h的一阶导数（m2速度v2）、二阶导数（m2加速度a2）随时间的变化情况，此时m1的速度1223hvvh；对m1和m2分析受力可知，m1的加速度20222113sin30mgmahagmh，以时间为横轴，其余变量为纵轴作图，如图2、图3。由图像可以看出m1的确比m2晚达到最大速度，且它们的加速度变化情况也不相同。利用Matlab数值解微分方程特点，分别计算了m1、m2速度、m1、m2加速度随下降高度的变化情况，如图4。从图4也可以看出m1、m2的确不能同时达到最大速度。由以上几幅数据图可以看出，m1、m2、滑轮、斜面组成的系统中的两个物体实际做周期性振动，且二者存在一定的相位差，它们不能同时达到最大速度。对第（2）问分析，m2沿竖直杆能够下滑最大距离时速度为零，因此沿绳方向的分运动一定也为零，此时m1和m2同时速度为零。从m1和m2的速度——位移图（图4）中我们也能够看到这个结论，此时位移为2.31m，因此第（2）各问题的研究过程是符合实际运动过程的，因此使用机械能守恒定律就能够得到正确的结果。通过以上分析，我们得出这样一个结论，虽然机械能守恒定律是研究物体初末状态的物理规律，但在使用的时候也绝对不能忽视物理过程。（收稿日期：2007--）邬鹏举通讯地址：内蒙古包头市第一中学邮编：014040电话：[phone]Email:[e-mail]