2015理科数学全国2卷

2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1．已知集合21,01,2A｛，，｝，(1)(20Bxxx,则AB（）A．1,0AB．0,1C．1,0,1D．0,1,22．若a为实数且(2)(2)4aiaii，则a（）A．1B．0C．1D．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列na满足a1=3，135aaa=21，则357aaa（）A．21B．42C．63D．845．设函数211log(2),1,()2,1,xxxfxx,2(2)(log12)ff（）A．3B．6C．9D．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．81B．71C．61D．517．过三点(1,3)A，(4,2)B，(1,7)C的圆交y轴于M，N两点，则||MN（）A．26B．8C．46D．108．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,ab分别为14,18，则输出的a（）A．0B．2C．4D．149．已知BA,是球O的球面上两点，90AOB,C为该球面上的动点，若三棱锥ABCO体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36B.64C.144D.25610．如图，长方形ABCD的边2AB，1BC，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx．将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数()fx，则()yfx的图像大致为（）(D)(C)(B)(A)xy4234223424yxxy4234223424yx11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A．5B．2C．3D．212．设函数'()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f，当0x时，'()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是（）A．(,1)(0,1)B．(1,0)(1,)C．(,1)(1,0)D．(0,1)(1,)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_________．14．若x，y满足约束条件1020,220,xyxyxy，，则zxy的最大值为____________．15．4()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a__________．16．设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS________．三、解答题17．（本题满分12分）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．（Ⅰ）求sinsinBC；（Ⅱ）若1AD，22DC，求BD和AC的长．18．（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（本题满分12分）如图，长方体1111ABCDABCD中,=16AB，=10BC，18AA，点E，F分别在11AB，11CD上，114AEDF．过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值．20．（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)Cxymm,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．21．（本题满分12分）设函数2()emxfxxmx．（Ⅰ）证明：()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]xx，都有12()()e1fxfx，求m的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点．DD1C1A1EFABCB1（Ⅰ）证明：//EFBC；（Ⅱ）若AG等于O的半径，且23AEMN，求四边形EBCF的面积．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数，0t），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sinC，曲线3:23cosC．（Ⅰ）．求2C与1C交点的直角坐标；（Ⅱ）．若2C与1C相交于点A，3C与1C相交于点B，求AB的最大值．24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设,,,abcd均为正数，且abcd，证明：（Ⅰ）若abcd，则abcd；（Ⅱ）abcd是abcd的充要条件．GAEFONDBCMCBADD1C1B1A1参考答案1．A【解析】由已知得21Bxx，故1,0AB，故选A．考点：集合的运算．2．B【解析】由已知得24(4)4aaii，所以240,44aa，解得0a，故选B．考点：复数的运算．3．D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D．考点：正、负相关．4．B【解析】设等比数列公比为q，则2411121aaqaq，又因为13a，所以4260qq，解得22q，所以2357135()42aaaaaaq，故选B．考点：等比数列通项公式和性质．5．C【解析】由已知得2(2)1log43f，又2log121，所以22log121log62(log12)226f，故2(2)(log12)9ff，故选C．考点：分段函数．6．D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCDABCD中，截去四面体111AABD，如图所示，，设正方体棱长为a，则11133111326AABDVaa，故剩余几何体体积为3331566aaa，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D．考点：三视图．7．C【解析】由已知得321143ABk，27341CBk，所以1ABCBkk，所以ABCB，即ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25xy，令0x，得262y，所以46MN，故选C．考点：圆的方程．8．B【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为14a，18b；4b；10a；6a；2a；2b，此时2ab程序结束，输出a的值为2，故选B．考点：程序框图．9．C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时2311136326OABCCAOBVVRRR，故6R，则球O的表面积为24144SR，故选C．考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC10．B【解析】由已知得，当点P在BC边上运动时，即04x时，2tan4tanPAPBxx；当点P在CD边上运动时，即3,442xx时，2211(1)1(1)1tantanPAPBxx，当2x时，22PAPB；当点P在AD边上运动时，即34x时，2tan4tanPAPBxx，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x对称，且()()42ff，且轨迹非线型，故选B．考点：函数的图象和性质．11．D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，如图所示，ABBM，0120ABM，过点M作MNx轴，垂足为N，在RtBMN中，BNa，3MNa，故点M的坐标为(2,3)Maa，代入双曲线方程得2222abac，即222ca，所以2e，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．A【解析】记函数()()fxgxx，则''2()()()xfxfxgxx，因为当0x时，'()()0xfxfx，故当0x时，'()0gx，所以()gx在(0,)单调递减；又因为函数()()fxxR是奇函数，故函数()gx是偶函数，所以()gx在(,0)单调递减，且(1)(1)0gg．当01x时，()0gx，则()0fx；当1x时，()0gx，则()0fx，综上所述，使得()0fx成立的x的取值范围是(,1)(0,1)，故选A．考点：导数的应用、函数的图象与性质．13．12【解析】因为向量ab与2ab平行，所以2abkab（），则12,kk，所以12．考点：向量共线．14．32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为yxz，当z取到最大时，直线yxz的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D，则zxy的最大值为32．考点：线性规划．15．3【解析】试题分析：由已知得4234(1)1464xxxxx，故4()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，34ax，x，36x，5x，其系数之和为441+6+1=32aa，解得3a．考点：二项式定理．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO16．1n【解析】由已知得111nnnnnaSSSS，两边同时除以1nnSS，得1111nnSS，故数列1nS是以1为首项，1为公差的等差数列，则11(1)nSnn，所以1nSn．考点：等差数列和递推关系．17．【解析】（Ⅰ）1sin2ABDSABADBAD，1sin2ADCSACADCAD，因为2ABDADCSS，BADCAD，所以2ABAC．由正弦定理可得sin1sin2BACCAB．（Ⅱ）因为::ABDADCSSBDDC，所以2BD．在ABD和ADC中，由余弦定理得2222cosABADBDADBDADB，2222cosACADDCADDCADC．222222326ABACADBDDC．由（Ⅰ）知2ABAC，所以1AC．18．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满