小升初数学·立体几何(完美编辑版)

第1页共6页小升初数学拓展与提高——立体几何内容提要板块一、基本立体图形认知板块二、立体染色及最短线路问题板块三、套模法、切片法及立体旋转问题基础知识点立体图形表面积体积662a＝个面的面积和32aaa高底面积)(26bcacab＝个面的面积和abccab高底面积rhrππ＝侧面积两个底面积222hrhr22ππ高底面积rlrπ＝π侧面积底面积2hrhr22313131ππ高底面积r24rπ使劲记住：334rπ使劲记住：例1.右图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放在玻璃杯内。当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米。则这个玻璃杯的容积为________立方厘米。(取π=3.14)（提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）CBA例2.铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。问：该油罐车的容积是多少立方米？(π=3.14)例3.图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。问这个直三棱柱的体积是多少？绿黄例4.下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半圆和两个长方形组成，总面积是a，圆柱底面半径是r。用a，r和圆周率所表示的这个半圆柱的高的式子是__________________________，体积的式子是__________________________________。例5.如下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。立体图形的体积()立方厘米。A.2B.2.5C.3D.3.5第2页共6页例6.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米。这卷铜版纸的总长是多少米？(π=3.14)例7.输液100毫升，每分钟输2.5毫升。如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【阶段总结1】1.柱体的体积：底面积×高；锥体的体积：13×底面积×高。2.根据展开图、三视图还原原立体图形的能力，立体图形、展开图对照分析能力。3.简易立体图形的画法。例8.右图是456正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？例8．拓展：一个长方体体积462立方厘米，在它的表面涂上一层油漆，然后把它切成棱长1厘米的正方体若干，长宽高为整数，这时三面都有油漆的正方体有86个，有二面油漆的正方体______个．例9.将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。例10.如图两只小蚂蚁都在一个棱长为10的正方体A点处，现在它们要爬向C点，其中一只小蚂蚁去探路，寻找一条沿正方体表面爬行的最短路线，并留下脚印，以便第二只小蚂蚁沿这条最短路线也爬到C点，同学们，你们能不能帮第一只小蚂蚁找到最短路线呢，这两只小蚂蚁所走的最短路线的乘积是多少呢？（提示：勾股定理）CA例11.如图一只小蚂蚁都在一个如图所示的长方体A点处，现在它要沿长方体表面爬向C点，同学们，你们能不能帮这只小蚂蚁找到最短路线呢，最短路线的长度是多少？【阶段总结2】1.立体染色问题，例8的那个表格还记得吗？2.立体最短线路问题，例10、例11第3页共6页例12.用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图所示，那么粘成这个立体最多需要______块小立方体，该立方体的表面积为______。提示图：例13.如图，ABCD是矩形，6cmBC，10cmAB，对角线AC、BD相交O。E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)OFABCDE例14.如图，ABCD是矩形，6cmBC，10cmAB，对角线AC、BD相交O。图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？DCBAO【阶段总结3】1.求镂空图形表面积：组合体法、透视法等等。求镂空图形体积：切片法，组合体法。2.理解圆柱体、圆锥体、圆台分别是由什么图形旋转得到的。测试题1.一个长方体如果长增加3cm，体积就增加345cm，如果宽增加5cm，体积就增加390cm，如果高增加4cm，体积就增加348cm，求原长方体的表面积。2.甲、乙两个圆柱形水桶容积一样大，甲桶底圆半径与乙桶底圆半径比为3:2，乙桶比甲桶高1.5米，则乙桶的高度为。3.如图，工地上堆放了180块砖，这个砖堆有两面靠墙。如果要把这个砖堆的表面涂满白色，那么，被涂上白色的砖共有块。图24.从三个方向看一个立方体如下图，求H、X、Y对面分别是什么字母？XHYWEXYHA第4页共6页5.某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4:3:2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是平方米，体积是立方米。6.小红把10个棱长均为1的小正方体按如图的位置堆放，结果又把标有字母的小正方体搬走了，这时表面积为。补充训练：7.用棱长l厘米的小正方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的图形都如图所示，那么这的立体最多可以用______块小正方体粘成．8.用若干个棱长为1的小正方体铁块焊接成的几何体，从正面，侧面，上面看到的视图均如图所示，那么这个几何体至少由______个小正方体铁块焊接而成．9.如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用______秒钟．10.用小立方块搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示,这样的几何体只有一种吗?它最少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块?第5页共6页2求不规则立体图形的表面积与体积【例6】（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【例7】（★★★）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．【例8】（★★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？3水位问题【例9】（★★）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【例10】（★★）一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有21容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米2厘米3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？4计数问题【例12】有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？5三维视图的问题【例13】现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm高为3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。例：第6页共6页6其他常考题型【例14】（★★★）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？【例15】左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。6、（★★）有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？7、（★★）如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？8、（★★★）现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？解：如图，可有如下三种情况比较后可知：焊上