高中数学讲义之集合专题

高中数学讲义之集合专题1集合一、学习要求1、理解集合，子集，并集，交集，补集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义；2、掌握集合相关的术语和符号，并会运用它们正确表示一些简单的集合；3、掌握集合的并、交、补运算.知识网络结构图：概念绝对值不等式的解法↑↑集合集合的应用↓↓运算一元二次不等式或绝对值不等式的解法二、知识要点1.集合元素的三个属性：①确定性：每一个对象都能被确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合。例如，“个子高的同学”；“很小的数”都不能构成集合。集合的确定性主要用于判定一个总体是否能够形成集合。②互异性：集合中的任意两个元素都是不同的对象。例如，写成｛1,1,2｝等同于｛1,2｝。集合的互异性使得集合中的元素没有重复。当两个相同的对象在同一集合中出现时，它们只能算作是这个集合中的一个元素。③无序性：集合中的元素可以任意排列，没有严格的次序要求。例如，集合｛a,b,c｝与集合｛c,b,a｝表示同一集合。2.常见的几种集合：①有限集：含有有限个元素的集合；②无限集：含有无限个元素的集合；③单点集：仅含有一个元素的集合；高中数学讲义之集合专题2④空集：不含有任何元素的集合。注：单点集又称单元素集，其元素个数为1；空集又称虚无集，其元素个数为0.单点集和空集都是有限集。3.集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。列举法的表述形式有以下三种：①集合是有限集且元素个数较少。例如，由0,2,3,5组成的集合可表示为｛0,2,3,5｝②集合是有限集但元素个数较多。例如，由从50到100的所有整数组成的集合可表示为｛50,51,52,…，98,99,100｝③集合是无限集而元素离散。例如，由所有的正偶数组成的集合可表示为｛2,4,6,8，…｝（2）描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。描述法的表述形式有以下两种：①数式形式：例如，由不等式32x的所有解组成的集合可表示为32xx；由直线1yx上所有点的坐标组成的集合可表示为,1xyyx。②语言形式：例如，由所有直角三角形组成的集合可表示为｛直角三角形｝；由所有小于6的正整数组成的集合可表示为｛小于6的正整数｝。4.元素与集合之间的关系：元素与集合之间的关系有“属于”和“不属于”两种。设A是一个集合，a是一个元素,若a是A的元素，则称a属于A，记作aA;若a不是A的元素，则称a不属于A，记作aA。注：对于任意给定的集合A及任意给定的元素a来说，a是否是A的元素必定是完全确定的。也就是说，aA与aA这两者之中必定有且只有一个是成立的。5.集合与集合之间的关系：集合与集合之间的关系有“包含”，“不包含”及“相等”三种。（1）子集的定义：设A,B是两个集合，若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称集合A包含于集合B，或称集合B包含集合A，记作AB(BA)，此时我们也称集合A是集合B的子集。也就是说，对于任意两个集合A,B，若AB，则称集合A是集合B的子集。若集合A不包含于集合B，则记作AB，此时集合A显然不会是集合B的子集。高中数学讲义之集合专题3（2）集合相等的定义：设A,B是两个集合，若BA，同时AB，则称集合A与集合B相等，记作A=B。注：这一简单的事实在今后判定两个集合相等时会经常遇到。（3）真子集的定义：设A,B是两个集合，若AB且AB，则称集合A是集合B的真子集。规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。6.集合的基本运算：集合有三种基本运算：并、交，补。（1）并集的定义：设A,B是两个集合，我们把A中一切元素与B中一切元素所组成的集合称为A与B的并集或并，记作AB，即ABxxAxB或（2）交集的定义：设A,B是两个集合，我们把A与B中公共的元素所组成的集合称为A与B的交集或交，记作AB，即ABxxAxB且（3）补集的定义：设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），则称所有属于S但不属于A的元素组成的集合为S中集合A的补集（或余集），记作SCA，即sCAxxSxA但关于集合的并、交、补这三种运算，我们有以下基本规律：定理：设A，B是两个集合，则以下三个条件等价：①AB;②ABB;③ABA.注：定理1即是说：对于任意两个集合A，B，ABABB；ABABA;ABBABA.7.全集的定义：若集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，则我们可把这个集合看作一个全集，记作U.高中数学讲义之集合专题48.集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，即AA；②空集是任何集合的子集，即A；③空集是任何非空集合的真子集；④空集的补集是全集；⑤若集合A=集合B，则CBA=，CAB=；⑥若AB，BC，则AC.9.集合元素的个数：设集合A含有n个元素，则①A的子集有2n个.②A的真子集有2n－1个.③A的非空真子集有2n－2个.10.DeMorgan（德摩根）公式：①())()UUUCABCACB(②())()UUUCABCACB(③UCU④UCU三、例题精讲例1、下列各组对象中不能形成集合的是（）A.正三角形的全体B.大于2的所有整数C．所有的无理数D.高一数学书中的所有难题例2、用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.（1）方程210xx的实数解组成的集合（2）方程2313xy与320xy的公共解组成的集合（3）2与3的正公倍数组成的集合（4）平面上到两定点A,B的距离相等的点的集合高中数学讲义之集合专题5例3、设13Mxx，23a。则下列关系正确的是（）A.aMB.aMC.aMD.aM例4、写出集合61SxZNx的所有子集.例5、已知2320AxRxx，22(9)(32)0BxRxxx。求满足条件APB的集合P.四、课堂练习1、设A=｛三角形｝，B=｛等腰三角形｝，C=｛等边三角形｝，D=｛直角三角形｝.则下列关系正确的是（）A．ADDB.CBBC.CBCD.BDB2、设A=｛1,3,x｝，B=｛2x，1｝，且1,3,ABx.则这样不同的x有（）个A.1B.2C.3D.43、设M=｛1,-3,0｝，N=｛21tt｝，若MNM，则t=_______.4、设2Axx，3Bxx.则AB_______.5、设Axx是平行四边形，Bxx是矩形.则AB_______，AB_______.6、设1,2,3A，210,BxRxaxaR，则当ABB时，a的值是（）A.2B.2或3C.1或3D.1或27、若集合210,AxxaxaR，集合1,2B，且ABB，则实数a的取值范围是_______.高中数学讲义之集合专题6课后作业1、集合,,,,Sabcde中包含,ab的S的子集共有（）A.2个B.3个C.5个D.8个2、设全集=1,2,3,4,5U，集合14M，，135N，，，则()UNCM（）A.13，B.15，C.35，D.45，3、设=UR，集合2212xAxx，2450Bxxx，则()RCAB（）A.[5,4)B.(5,4)C.(5,4]D.[5,4][1,2)4、已知=UR，集合223Ayyxx，2log(3)Bxyx，则)UCAB(（）A.(2,3)B.(2,)C.[3,2)D.(3,2)5、设集合11()12xMx，12Nxx，则NM（）A.(1,)B.(1,3]C.[1,1]D.[1,3)6、设2,1,3Aaa，23,21,1Baaa，若3AB，则a_______.7、设集合22(,),1Axyxyxy为实数，且，(,),Bxyxyyx为实数，且，则AB的元素的个数为（）A.3B.2C.1D.08、设集合290Axx，2BxxN，则AB的元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6