高三一轮复习平面向量复习优秀教案

1/18平面向量第一课时平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0r.0r的方向是任意的.注意0r与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。（2）规定：规定0r与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;②向量,,abcrrr平行，记作ar∥br∥cr③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量2/18（1）定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量ar与br相等，记作abrr；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1．下列命题正确的是（）A．向量AB与BAB．若ba、都是单位向量,则abrrC．若AB=DC,则A、B、C、DD．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2．若ba、都是单位向量，则||ba的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，2）C．［1，2］D．［0，2］3.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则2FAABBOEDuuruuuruuuruuur等于（）A．FEuurB.ACuuurCDCuuurDFCuuur4.如图，在△ABC中，AB=ar,BC=br，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求：向量AG．5．已知△ABC及一点O，求证：O为△ABC的重心的充要条件是.OOCOBOADABMCMabG·3/186.设平面内有四边形ABCD和O点，,,,OAaOBbOCcODduurruuurruuurruuurur，若acbdrrrur，则四边形ABCD的形状为。【同步练习】1．在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形2.已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则AP等于（）A.λ(AB+AD),λ∈(0,1)B.λ(AB+BC),λ∈(0,22)C.λ(AB－AD),λ∈(0,1)D.λ(BCAB),λ∈(0,22)3.已知两点3,2M，5,5N12MPMNuuuruuur，则P点坐标是（）4.已知△ABC中，cABbCAaBC,,，若accbba，求证：△ABC为正三角形.5.已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证OEODOCOBOA4.4/18第二课时平面向量的线性运算【重要知识】知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量,abrr，在平面内任取一点A，作AB＝ar，BC＝br，则向量AC叫做ar与br的和，记作abrr，即abrr＝AB＋BC＝AC．求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量即为和向量.②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定．③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则以点O为起点作向量aOA，OBbuuurr，以OA,OB为邻边作OACBY，则以O为起点的对角线所在向量OCuuur就是,abrr的和，记作abrr=OCuuur。说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00aaaarrrrrr，（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b||a|+|b|；②当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，③当a与b反向时，若|a||b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a||b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a+b=b+a②向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)知识点二：向量的减法5/18（1）相反向量：与ar长度相同、方向相反的向量.记作ar。（2）①向量ar和-ar互为相反向量，即–(-ar).②零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量，即ar＋(-ar)＝(-ar)＋ar＝0r．④如果向量,abrr互为相反向量，那么ar＝-br，br＝-ar，ar＋br＝0r．（3）向量减法的定义：向量ar加上的br相反向量，叫做ar与br的差.即：arbr=ar+(br)求两个向量差的运算叫做向量的减法.（4）向量减法的几何作法在平面内任取一点O，作,OAaOBbuurruuurr，则BAabuurrr．即abrr可以表示为从向量br的终点指向向量ar的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．说明：①AB表示abrr.强调：差向量“箭头”指向被减数②用“相反向量”定义法作差向量，arbr=ar+(br)，显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义（1）定义：一般地，我们规定实数与向量ar的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作ar，它的长度与方向规定如下：⑴|λar|＝|λ||ar|⑵当0时，λar的方向与ar的方向相同；当0时，λar的方向与ar的方向相反．当0时，λar＝0r（2）向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设、为实数，那么⑴λ(μar)＝(λμ)ar；⑵(λ＋μ)ar＝λar＋μar；⑶λ(ar＋br)＝λar＋λbr．知识点四：向量共线的条件向量ar(ar0r)与br共线，当且仅当有唯一一个实数，使br＝ar．6/18【典型例题】1.下列各式正确的是（）A．若ar，br同向，则|a+b|=|a|+|b|B．abrr与|a|+|b|表示的意义是相同的C．若ar，br不共线，则|a+b|＞|a|+|b|D．aabrrr永远成立2．AOOBOCCABOuuuruuuruuuruuruuur等于（）A．B．0rC．D．3．下列命题①如果ar，br的方向相同或相反，那么abrr的方向必与ar，br之一的方向相同。②△ABC中，必有0r③若0r，则A、B、C为一个三角形的三个顶点。④若ar，br均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等。其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．34．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为ar，br，cr，则向量等于（）A．abcrrrB．abcrrrC．abcrrrD．abcrrr5．在四边形ABCD中，设,,ABaADbBCcuuurruuurruuurr，则等于（）7/18A．abcrrrB．()bacrrrC．abcrrrD．bacrrr6．设br是ar的相反向量，则下列说法错误的是（）A．ar与br的长度必相等B．ar∥brC．ar与br一定不相等D．ar是br的相反向量7．ACuuur可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④8.如图所示，在ABCD中，已知,ABaDBbuuurruuurr，用ar与br表示向量ADuuur、。【同步练习】1.在以下各命题中，不正确的命题个数为（）①|a|=|b|是a=b的必要不充分条件；②任一非零向量的方向都是惟一的；③|a-b|＜|a|+|b|④若|a-b|=|a|+|b|，则0brr；⑤已知A、B、C是平面上的任意三点，则0r。A．1B．2C．3D．42．某人先位移向量ar：“向东走3km”，接着再位移向量br：“向北走3km”，则abrr（）8/18A．向东南走kmB．向东北走kmC．向东南走kmD．向东北走km3．若，则BCuuur的取值范围是（）A．B．（3，8）C．D．（3，13）4．设ABCDEF为一正六边形，,ABmAEnuuururuuurr，则5．化简：第三课时平面向量的基本定理9/18【重要知识】知识点一：平面向量基本定理⑴平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量ar，有且只有一对实数12,使ar=1122eeurur。我们把不共线向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)运用定理时需注意：①1e，2e是同一平面内的两个不共线向量。②该平面内的任一向量都可用1e，2e线性表示，且这种表示是唯一的。③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。知识点二：两向量的夹角与垂直（1）定义：已知两个非零向量,abrr，作,OAaOBbuurruuurr,则∠AOB=叫做向量abrr与的夹角。（2）如果abrr与的夹角是90°，就说abrr与垂直，记作abrr。（3）注意：向量abrr与的夹角的范围是0180，当0时，abrr与同向；当90时，abrr；当180，abrr与反向。知识点三：平面向量的坐标表示（1）如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ijrr作为基底.任作一个向量ar，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyjrrr…………○1我们把),(yx叫做向量ar的（直角）坐标，记作(,)axyr…………○2其中x叫做ar在x轴上的坐标，y叫做ar在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与ar相等的向量的坐标也为),(yx.特别地，(1,0),(0,1),0(0,0)ijrrr，如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAauurr，则点A的位置由ar唯一确定.10/18设OAxiyjuurrr，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.（2）平面向量的坐标运算①若1122(,),(,)axybxyrr，则abrr),(2121yyxx，abrr),(2121yyxx两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.②若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.（3）若(,)axyr和实数，则.(,)axyr实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.知识点四：平面向量共线的坐标表示（1）设11