数列的概念及简单表示方法

§6.1数列的概念及简单表示法1．数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1____an其中n∈N＋递减数列an＋1____an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知Sn，则an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√)(3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是an＝1＋－1n＋12.(×)(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(√)(5)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.(√)(6)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝12an－1，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．(√)2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64答案A解析∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.3．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10等于()A．1B．9C．10D．55答案A解析∵Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1.即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.4．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝_____.答案(－2)n－1解析当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，故anan－1＝－2，故an＝(－2)n－1.当n＝1时，也符合an＝(－2)n－1.综上，an＝(－2)n－1.5．(2013·安徽)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．答案an＝3n－2由相似三角形面积比是相似比的平方知OA2n＋OA2n＋2＝2OA2n＋1，即a2n＋a2n＋2＝2a2n＋1，因此{a2n}为等差数列且a2n＝a21＋3(n－1)＝3n－2，故an＝3n－2.题型一由数列的前几项求数列的通项例1写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….思维启迪先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝13(10n－1)．思维升华根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是an＝________.(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝________.答案(1)(－1)n·(6n－5)(2)2n＋1n2＋1解析(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an＝2n＋1n2＋1.题型二由数列的前n项和Sn求数列的通项例2已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.思维启迪当n＝1时，由a1＝S1，求a1；当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．解(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.思维升华数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．答案an＝2，n＝16n－5，n≥2解析当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5，n≥2.题型三由数列的递推关系求数列的通项公式例3(1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.(2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个通项公式为an＝________.(3)在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.则{an}的通项公式为________．思维启迪观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式．答案(1)nn＋12＋1(2)2×3n－1－1(3)an＝nn＋12解析(1)由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋n－12＋n2＝nn＋12＋1.又a1＝2＝1×1＋12＋1，符合上式，因此an＝nn＋12＋1.(2)方法一(累乘法)an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，即an＋1＋1an＋1＝3，所以a2＋1a1＋1＝3，a3＋1a2＋1＝3，a4＋1a3＋1＝3，…，an＋1＋1an＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得an＋1＋1a1＋1＝3n.因为a1＝1，所以an＋1＋11＋1＝3n，即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.方法二(迭代法)an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也满足上式，故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.(3)由题设知，a1＝1.当n1时，an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1.∴anan－1＝n＋1n－1.∴anan－1＝n＋1n－1，…，a4a3＝53，a3a2＝42，a2a1＝3.以上n－1个式子的等号两端分别相乘，得到ana1＝nn＋12，又∵a1＝1，∴an＝nn＋12.思维升华已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，则an＝________.(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N＋)，则a5等于()A．－16B．16C．31D．32答案(1)1n(2)B解析(1)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.(2)当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，∴an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列{an}．(1)若an＝n2－5n＋4，①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N＋，都有an＋1an.求实数k的取值范围．思维启迪(1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N＋上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．规范解答解(1)①由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.[4分]②∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94的对称轴方程为n＝52.又n∈N＋，∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.[8分](2)由an＋1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N＋，所以－k232，即得k－3.[12分]温馨提醒(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N＋上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．(3)易错分析：本题易错答案为k－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.方法与技巧1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调an与Sn的关系：an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式．失误与防范1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数