数学必修2---直线与方程典型例题(精)

第1页共16页第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1．1倾斜角与斜率【知识点归纳】1.直线的倾斜角：2.直线的斜率：3.直线的斜率公式：【典型例题】题型一求直线的倾斜角例1已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（）.A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°变式训练：设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l，则1l的倾斜角为（）。A.45B.135C.135D.当0°≤α＜135°时为45，当135°≤α＜180°时，为135题型二求直线的斜率例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.变式训练：已知过两点22(2,3)Amm,2(3,2)Bmmm的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.题型三直线的倾斜角与斜率的关系例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）.A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2拓展一三点共线问题例4已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．第2页共16页变式训练:若三点P（2，3），Q（3，a），R(4，b)共线，那么下列成立的是（）.A．4,5abB．1baC．23abD．23ab拓展二与参数有关问题例5已知两点A(-2,-3),B(3,0),过点P(-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.变式训练：已知(2,3),(3,2)AB两点，直线l过定点(1,1)P且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围.拓展三利用斜率求最值例6已知实数x、y满足28,xy当2≤x≤3时，求yx的最大值与最小值。变式训练：利用斜率公式证明不等式：(0amaabbmb且0)m3.1.2两条直线平行与垂直的判定【知识点归纳】第3页共16页1.直线平行的判定2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）：【典型例题】题型一两条直线平行关系例1已知直线1l经过点M（-3，0）、N（-15，-6），2l经过点R（-2，32）、S（0，52），试判断1l与2l是否平行？变式训练：经过点(2,)Pm和(,4)Qm的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是（）.A．4B．1C．1或3D．1或4题型二两条直线垂直关系例2已知ABC的顶点(2,1),(6,3)BC，其垂心为(3,2)H，求顶点A的坐标．变式训练：（1）1l的倾斜角为45°，2l经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问1l与2l是否垂直？（2）直线12,ll的斜率是方程2310xx的两根，则12ll与的位置关系是.题型三根据直线的位置关系求参数例3已知直线1l经过点A(3,a)、B（a-2,-3）,直线2l经过点C（2，3）、D（-1，a-2）,（1）如果1l//2l，则求a的值；（2）如果1l⊥2l，则求a的值题型四直线平行和垂直的判定综合运用第4页共16页例4四边形ABCD的顶点为(2,222)A、(2,2)B、(0,222)C、(4,2)D，试判断四边形ABCD的形状.变式训练：已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．探点一数形结合思想例5已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.探点二分类讨论思想例6ABC的顶点(5,1),(1,1),(2,)ABCm，若ABC为直角三角形，求m的值.3.2直线的方程第5页共16页3.2.1直线的点斜式方程【知识点归纳】1.直线的点斜式方程：2.直线的斜截式方程：【典型例题】题型一求直线的方程例1写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A，斜率是4；（2）经过点(3,1)B，倾斜角是30.例2倾斜角是135，在y轴上的截距是3的直线方程是.变式训练：1.已知直线l过点(3,4)P，它的倾斜角是直线1yx的两倍，则直线l的方程为2.已知直线l在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程.3.将直线31yx绕它上面一点（1，3）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程第6页共16页是.题型二利用直线的方程求平行与垂直有关问题例3已知直线1l的方程为223,yxl的方程为42yx，直线l与1l平行且与2l在y轴上的截距相同，求直线l的方程。探究一直线恒过定点或者象限问题例4.已知直线31ykxk.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.探究二直线平移例5已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为__________________3.2.2直线的两点式方程【知识点归纳】第7页共16页1.直线的两点式方程：2.直线的截距式方程：【典型例题】题型一求直线方程例1已知△ABC顶点为(2,8),(4,0),(6,0)ABC，求过点B且将△ABC面积平分的直线方程.变式训练：1.已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）.A．425xyB．425xyC．25xyD．25xy2.已知1122234,234xyxy，则过点1122(,),(,)AxyBxy的直线l的方程是（）.A.234xyB.230xyC.324xyD.320xy例2求过点(3,2)P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式训练：已知直线l过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l的方程为题型二直线方程的应用例3长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并说明自变量x的取值范围；（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？探究一直线与坐标轴围成的周长及面积例4已知直线l过点(2,3)，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l的方程．oyx6106080（千克）元第8页共16页探究二有关光的反射例5光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.变式训练：已知点(3,8)A、(2,2)B，点P是x轴上的点，求当APPB最小时的点P的坐标．3.2.3直线的一般式方程【知识点归纳】第9页共16页1．直线的一般式：2．直线平行与垂直的条件：【典型例题】题型一灵活选用不同形式求直线方程例1根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－12，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于x轴；（3）在x轴和y轴上的截距分别是32,－3；（4）经过两点1P（3，－2）、2P（5，－4）.题型二直线不同形式之间的转化例2求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点(5,6),(4,8)AB.题型三直线一般式方程的性质例3直线方程0AxByC的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.变式训练：已知直线:5530laxya。第10页共16页（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围。题型四运用直线平行垂直求参数例4已知直线1l：220xmym，2l：10mxym，问m为何值时：（1）12ll；（2）12//ll.变式训练：（1）求经过点(3,2)A且与直线420xy平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B且与直线250xy垂直的直线方程.题型五综合运用例5已知直线1:60lxmy，2:(2)320lmxym，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两直线的交点坐标第11页共16页3.3.2两点间的距离【知识点归纳】1.两条直线的焦点坐标：2.两点间的距离公式：【典型例题】题型一求直线的交点坐标例1判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.（1）直线l1:2x－3y+10=0,l2:3x+4y－2=0；（2）直线l1:1nxyn,l2:2nyxn.题型二三条直线交同一点例2若三条直线2380,1020xyxykxy，相交于一点，则k的值等于变式训练：1.设三条直线：21,23,345xyxkykxy交于一点，求k的值2.试求直线1:l20xy关于直线2l:330xy对称的直线l的方程.题型三求过交点的直线问题例3求经过两条直线280xy和210xy的交点，且平行于直线4370xy的第12页共16页直线方程.变式训练：已知直线l1:2x-3y+10=0,l2:3x+4y-2=0.求经过l1和l2的交点，且与直线l3:3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.题型四两点间距离公式应用例4已知点(2,1),(,3)ABa且||5AB，则a的值为变式训练：在直线20xy上求一点P，使它到点(5,8)M的距离为５，并求直线PM的方程.题型五三角形的判定例5已知点(1,2),(3,4),(5,0)ABC，判断ABC的类型．探究一直线恒过定点问题例6已知直线(2)(31)1ayax.求证：无论a为何值时直线总经过第一象限.第13页共16页变式训练：若直线l：y＝kx3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的倾斜角的取值范围.探究二利用对称性求最值问题（和最小，差最大）例7直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.变式训练：已知(1,0)(1,0)MN、，点P为直线210xy上的动点．求22PMPN的最小值，及取最小值时点P的坐标．3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离第14页共16页【知识点归纳】1.点到直线的距离：2.两条平行间直线的距离：拓展：点关于点、直线对称点的求法【典型例题】题型一利用点到直线距离求参数例1已知点(,2)(0)aa到直线:30lxy的距离为1，则a=（）.A．2B．－2C．21D．21题型二利用点到直线距离求直线的方程例2求过直线1110:33lyx和2:30lxy的交点并且与原点相距为1的直线l的方程.变式训练：直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到l的距离相等，则直线l的方程是题型三利用平行直线间的距离求参数第15页共16页例3若两平行直线3210xy和60xayc之间的距离为21313，求2ca的值.变式训练：两平行直线51230102450xyxy与间的距离是（）.A.213B.113C.126D.526题型四利用平行直线间的距离求直线的方程例4与直线:51260lxy平行且与l的距离2的直线方程是题型五点、直线间的距离的综合运用例5已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．探究一与直线有关的对称问题第16页共16页例6△ABC中，(3,3),(2,2),(7,1)ABC.求∠A的平分线AD所在直线的方程.变式训练：1.与直线2360xy关于点（1，-1）对称的直线方程是2．求点A（2，2）关于直线2490xy的对称点坐标探究