函数的对称性

函数的对称性知识梳理一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;⑨正弦型函数sin()yAx既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)yfx和|()|yfx两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln|yx就没有对称性，而|sin|yx却仍然是轴对称。⒂形如(0,)axbycadbccxd的图像是双曲线，其两渐近线分别直线dxc(由分母为零确定)和直线ayc(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(,)dacc。二、抽象函数的对称性【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性，我们称其为互对称。】1、函数)(xfy图象本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称①)(xfy的图象关于直线ax对称)()(xafxaf)2()(xafxf)2()(xafxf②)()(xbfxaf)(xfy的图象关于直线22)()(baxbxax对称.特别地，函数)(xfy的图像关于y轴对称的充要条件是()()fxfx.（2）中心对称①)(xfy的图象关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxafxf2)2()(bxafxf2)2()(。②cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称.特别地，函数)(xfy的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是()()0fxfx.（3）对称性与周期性之间的联系①若函数()fx既关于直线xa对称，又关于直线xb对称()ab，则函数()fx关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为ba；且函数()fx为周期函数，周期2Tba；特别地：若)(xfy是偶函数，其图像又关于直线xa对称，则()fx是周期为2a的周期函数；②若函数()fx既关于点(,0)a对称，又关于点(,0)b对称()ab，则函数()fx关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为ba；且函数()fx为周期函数，周期2Tba；③若函数()fx既关于直线xa对称，又关于点(,0)b对称()ab，则函数()fx关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为ba，相邻对称轴或中心的距离为2ba；且函数()fx为周期函数，周期4Tba。特别地：若)(xfy是奇函数，其图像又关于直线xa对称，则()fx是周期为a4的周期函数。典例精讲关于直线对称例1.（★★）已知二次函数)0()(2abxaxxf满足条件)3()5(xfxf且方程xxf)(有等根，则)(xf＝．例2.（★★）已知函数)(xf对一切实数x满足条件)3()1(xfxf，已知2x时，xxxf2)(，求2x时)(xf的解析式.巩固练习（自对称）1.（★★）已知函数()fx定义域为R，且对于任意实数x满足(2)(6)fxfx，当02x时，2()235fxxxx，则(1)(3)ff.2.（★★）设()fx是定义在R上以6为周期的函数，()fx在(0,3)内单调递减，且()yfx的图像关于直线3x对称，则下面正确的结论是（）.A(1.5)(3.5)(6.5)fff.B(3.5)(1.5)(6.5)fff.C(6.5)(3.5)(1.5)fff.D(3.5)(6.5)(1.5)fff3.（★★）设函数)(xf是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线2x对称，已知2,2x时，1)(2xxf，求2,6x时，)(xf的解析式.例3.（★★）已知函数xye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，则A．22()xfxexRB．)0(ln2ln)2(xxxfC．22()xfxexRD．2lnln2(0)fxxx例4.（★★）已知函数2()3fxxx，函数()gx与()fx的图像关于轴03x对称，求函数()gx在区间34，上的最值.巩固练习1.（★★）若函数)(xgy图像与函数)1()1(2xxy的图像关于直线xy对称，则(4)g＿；2.在同一直角坐标系中，函数ygx的图像与xye的图像关于直线yx对称，而函数yfx的图像与ygx的图像关于y轴对称，若1fa，则a的值是（）A．e；B．1e；C．1e；D．e．3.若函数)(xf的图像与对数函数xy4log的图像关于直线0yx对称，则)(xf的解析式为4.（★★）函数101xyaa的反函数的图象大致是（A）（B）（C）（D）关于点对称例5.（★★）已知函数()yfx满足：(2)()4fxfx，则函数()yfx的图象（）A．关于点(1,1)M对称B．关于点(0,1)M对称C．关于点(1,0)M对称D．关于点(1,2)M对称例6.（★★）设1a，函数)(xf的图像与函数2|2|24xxaay的图像关于点)2,1(A对称．求函数)(xf的解析式．练习1.（★★★）()fx是定义在R上的以3为周期的奇函数，且(2)0f，则方程()0fx在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．7B．3C．4D．52.（★★）已知函数f(x)＝axax1的反函数的图象的对称中心是(1，21)，则函数g(x)＝)2(log2xxa的单调递增区间是；函数对称性与周期性的联系例7.（★★）若函数)(xf在R上是奇函数，且在01，上是增函数，且)()2(xfxf.①求)(xf的周期；②证明)(xf的图象关于点(2,0)k中心对称;关于直线21xk轴对称,()kZ;③讨论)(xf在(1,2)上的单调性；练习1.（★★）设)(xf是定义在R上的奇函数,)(xfy的图象关于直线21x，则)5()4()3()2()1(fffff.2.（★★）已知定义在R上的奇函数()fx满足(2)()fxfx，则(6)f的值为（）(A)－1(B)0(C)1(D)23.（★★）设)(xf是定义在R上的偶函数，且)1()1(xfxf，当01x时，xxf21)(，则)6.8(f___________练习1.函数(1)yfx与函数1yfx的图象关于关于__________对称。2.设函数()yfx的定义域为R，且满足(1)1fxfx，则()yfx的图象关于__________对称。3.设()yfx的定义域为R，且对任意xR，有(12)(2)fxfx，则(2)yfx图象关于__________对称，()yfx关于__________对称。4.已知函数()yfx对一切实数x满足(4)2fxfx，且方程()0fx有5个实根，则这5个实根之和为（）A、5B、10C、15D、185.函数()yfx定义域为R，且恒满足(2)2fxfx和(6)6fxfx，当26x时，1()22fxx，求()fx解析式。总结现在，总结一下本节课的收获吧？函数图像的对称性1、(1)一个图关于点对称：(Ⅰ)奇函数关于原点对称(Ⅱ)cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点(,)2abc对称(2)一个图关于直线对称：(Ⅰ)偶函数关于y轴对称(Ⅱ)22()()(0)faxfbxab关于直线2abx对称(3)两个图关于点对称(Ⅰ)()yfx关于原点对称的函数：,xxyy，即()yfx(Ⅱ)()yfx关于(,)ab对称的函数：2,2xaxyby即2(2)byfax（4）两个图关于直线对称：函数()yfax与()yfbx图象关于直线0axbx对称即直线2bax对称。