基本不等式中1的妙用

基本不等式中“1的妙用”一、考法解法命题特点分析此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式的值已知，求另一个代数式的最小值，其中两个代数式一个是整式axby，一个是分式mnxy，当然会在此基础上进行变形。解题方法荟萃主要是凑出可以使用基本不等式的形式：yxxy的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。二、典型题剖析例题1：（1）已知,xyR，21xy，求12xy的最小值；（2）已知,xyR，23xy，求12xy的最小值；（3）已知,xyR，322xy，求62xy的最小值；（4）已知,xyR，2xyxy，求2xy的最小值；【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。【答案】（1）121222(2)()145249xyxyxyxyyx当且仅当22xyyx即13xy时取等号（2）121121221(2)()145243333xyxyxyxyyx（）（）当且仅当22xyyx即13xy时取等号（3）1323662=()(62)9218622yxxyxyxyxy当且仅当63xyyx即32+222xy时取等号（4）因为2xyxy，所以121yx，然后1242=(+2y)(+)=48xyxyxyxyx当且仅当4xyyx即24xy时取等号例题2：（1）已知,xyR，1xy，求1213xy的最小值；（2）已知,xyR，1xy，求2211xyxy的最小值；（3）已知,xyR，1xy，求1223xyy的最小值；（4）已知,xyR，231xy，求123xyy的最小值；【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。【答案】（1）整式变形成113xy，12112132(1)22(13)()(12)1135133133yxxyxyxyxy当且仅当32(1)=13yxxy取等号（2）2222(1)2(1)1(1)2(1)1111212111111xyxxyyxyxyxyxy11111xy然后求当1xy时，代数式1111xy的最小值（3）整式变形成235xyy，求代数式1223xyy最小值（4）假设分式变形为2()(3)xyy的形式，保证x的系数与y的系数之比等于整式中的系数之比，即2==2+3，，1,=2，分式变形为22223xyy整式变形为2234xyy，然后求22223xyy的最小值。例3：（1）已知,xyR，1xy，求12xxy的最小值；（2）已知0,1x，，求121xx的最小值；【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是2xy的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式，但仔细观察不难发现，其实分母之和为定值。【解析】（1）12221122xxyxyxxyxyxy当且仅当2xyyx时取等号（2）因为(1)1xx，然后求121xx的最小值三、达标与拓展基础过关（第1—5题）1．若正数x，y满足xyyx53，则yx43的最小值是（）A．524B．528C．5D．6【解析】正数x，y满足xyyx53，15153yx，553312251353512545943515343yxxyyxxyyxyxyx，当且仅当yxxy53512时取等号即yx43的最小值是5【答案】C.2.已知,xy均为正实数，且32xy，则2xyxy的最小值为．【解析】试题分析：323272721217(3)()62222yxyxxyxyxyxyxyxy，当且仅当3232xyyxxy即26122323xy时，等号成立，即2xyxy的最小值是762．【例1】3.设00，ab，若3是3a与3b的等比中项，则11ab的最小值为（）A．8B．4C．1D．14【【解析】因为3是3a与3b的等比中项，所以1ab1111()()2224ababababba【答案】B．4．已知的最小值是则bababa3a1b21,1,0,0__________.【解析】令，（（)3a)a2abybxb解得5152yx，bbababaaba3a121)3(51252b3121)3(5)2(2)2(53253b3a5ba2225353babababababa）（5223当）（b3a5ba22253baba即)2(23abab取等号.5.已知实数x，y满足13422xyyx，则yx2的最大值为．【解析】实数x，y满足13422xyyx，xyxyyx14422，222221122112yxyxyx，解关于yx2的不等式可得71422yx，故答案为：7142．智能拓展（第6—10题）6.已知0a，0b，21ab，则11343abab取到最小值为．【解析】试题分析：令2(34)(3)(3)(43)abababab，∴131543225，∴111112312(3)34()[(34)(3)][]3433435555343abababababababababab322(3)34322553435abababab，当且仅当212(3)34343ababababab时，等号成立，即11343abab的最小值是3225．7.已知正数,xy满足1,xy则11112Mxy的最小值为【解析】11()[(1)(12y)]4112Mxxy则422Mxy，令22txy，即11122yxt，11(1)122xyxxt恒成立，由0得222222t，4422222222Mxy8.若正数,,xyz满足3456xyz，则1422yzyzxz的最小值为.【解析】1422yzyzxz=163(xz)16322yzxzyzxz令2,yzaxzb，则2(2)3()345236yzxzxyzab，即132ab，原式=1127()()3632323babbaaab9.已知00yx，，且121yx，若myx2恒成立，则实数m的取值范围是，当m取到最大值时x.【解析】恒成立问题，求2xy的最小值，即为“1的替换”答案为：8，，2；10.在边长为1的正三角形ABC中，)00(yxACyAEABxAD，，，且341xy，则BECD的最小值等于.【解析】这是结合向量来解的一个题目，BECD的最小值为62211.