2015年辽宁文科数学高考试题及答案

第1页共11页2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合{2,1,0,2}A，{|(1)(2)0}Bxxx,则A∩B=（）。（A）｛-1,0｝（B）｛0,1｝（C）｛-1,0,1｝（D）｛0，1，2｝（2）若a为实数且231aiii,则a=（）。（A）-4（B）-3（C）3（D）4（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（）。（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著；（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）设(1,1)a，(1,2)b，则(2)aba…………………………………（）（A）-1（B）0（C）1（D）2（5）设nS是等差数列{}na的前n，若1353aaa，则5S（）。（A）5（B）7（C）9（D）11（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为（）。（A）18（B）17（C）16（D）15第2页共11页（7）过三点(1,0),(0,3),(2,3)ABC，ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）。（A）53（B）213（C）253（D）43（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入,ab分别为14,18，则输出的a=（）。（A）0（B）2（C）4（D）14（9）已知等比数列{}na满足114a，3544(1)aaa，则2a（）。（A）2（B）1（C）12（D）18(10)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90o,C为球面上的动点。若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）。（A）36（B）64（C）144（D）256(11)如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x。将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数()fx，则()fx的图像大致为().（（A）（B）（C）（D）（12）设函数21()ln(1||)1fxxx，则使得()(21)fxfx成立的x的取值范围是………………………………………………………………………………（）（A）1(,1)3（B）1(,)(1,)3（C）11(,)33（D）11(,)(,)33二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）已知函数3()2fxaxx的图象过点（-1,4），则a。，第3页共11页（14）若,xy满足约束条件50210210xyxyxy，则2zxy的最大值为。（15）已知双曲线过点(4,3)，且渐近线方程为12yx，则该双曲线的标准方程为。（16）已知曲线lnyxx在点（1,1）处的切线与曲线2(2)1yaxax相切，则a。三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，2BDDC。（Ⅰ）求sinsinBC；（Ⅱ）若o60BAC，求B。（18）（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两底分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率表。A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频率表满意度评分分组50,6060,7070,8080,9090,100频数2814106（Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）A地区用户满意度评分的频率分布直方图第4页共11页（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由。（19）（本小题满分12分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4。过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。（20）（本小题满分12分）已知椭圆C：22221xyab(0)ab的离心率为22，点(2,2)在C上。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。（21）（本小题满分12分）已知函数()ln(1)fxxax。（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）当()fx有最大值，且最大值大于22a时，求a的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分，做第5页共11页答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边交于M,N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E,F两点。（Ⅰ）证明：EFBC；（Ⅱ）若AG等于⊙O的半径，且23AEMN，求四边形EBCF的面积。（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1cos:sinxtCyt(t为参数，0t)，其中0。在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C2sin，曲线3:C23cos。（Ⅰ）求2C与3C交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C与2C相交于点A，1C与3C相交于点B，求|AB|的最大值。（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设,,,abcd均为正数，且abcd，证明：（Ⅰ）若abcd，则abcd；（Ⅱ）abcd是||||abcd的充要条件。第6页共11页2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案ADDBACBBCCBA【详细解析】1．因为，{|12}Axx，{|03}Bxx，所以{|13}ABxx。2.试题分析：由213244aiiiia，故选D.3.试题分析：2006年以来，我国二氧化碳排放量与年份负相关，故选D4.21a，-2ab=，所以()2aba=220aab=。5.试题解析：13533331aaaaa，15535552aaSa.6.试题分析：截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的167.圆心在直线BC的垂直平分线1x上。。设圆心(1,)Db，由DADB得2||1(3)bb，解得223b。圆心到原点的距离2222211()33d。8.试题分析：输出的a是18,14的最大公约数29．试题分析：2444412aaa，所以34182aqqa，故2112aaq。10.设球的半径为R，则AOB面积为212R，三棱锥OABC体积最大时，C到平面AOB的最大距离为Ｒ。此时31366VR，解得6R。球的表面积为24SR144。第7页共11页11.()222f，()524f，所以()()24ff。排除C，D。当34x时，1()tancosfxxx，可排除A。12.fx是偶函数，且在0,是增函数，所以121212113fxfxfxfxxxx.二、填空题：13.214.815.2214xy316.2【详细解析】13.试题分析：由1242faa.14.不等式表示的可行域是以（1，1），（2,3），（3,2）为顶点的三角形区域，2zxy的最大值在顶点处取得。经验算，3,2xy时，max8z。15.试题分析：根据双曲线渐近线方程为12yx，可设双曲线的方程为224xym，把4,3代入得1m.16.试题分析：曲线lnyxx在点1,1处的切线斜率为2，故切线方程为21yx，与221yaxax联立得220axax，显然0a，所以由24802aaa。三、解答题：（17）解：（Ⅰ）AD平分BAC，由根据三角形内角平分线性质定理知，CDACBDAB。根据正弦定理得sinsinBACCAB。又由于2BDCD，所以sin1sin2BC。（Ⅱ）因为o60BAC，所以osinsin1sinsin(120)2BBCB，第8页共11页即osin(120)BsinB，解得3tan3B。所以o30B。（18）（Ⅰ）解：B地区用户满意度评分的频率分布直方图从两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，A地区用户满意度评分比较分散。（Ⅱ）解：A,B两地区评分等级概率如下表：设事件A表示“A地区的满意度等级为不满意”，则()PA(0.010.020.03)100.6；设事件B表示“B地区的满意度评分等级为不满意”，则()PB280.2540。因为()()PAPB，所以用户的满意度等级为不满意的概率大。(19)解:(Ⅰ)交线围成的正方形如右图：过E点作EM⊥AB,在AB上取MH=6，则EH=10，即EH=EF。作HG∥AD,交CD于点G。连结FG。四边形EFGH即为所求作的正方形。（Ⅱ）如图，作FN⊥CD，连结MN，则MEHNFGV168102402；11AEFDAMNDV4810320。于是11AEFDAHGD的体积：1V240320560；11BEFCBHGC的体积：2V16108560720。第9页共11页所以1256077209VV。（20）（Ⅰ）解：因为22e，所以2ac，222ac。因为222abc，所以22bc因为点(2,2)在C上，所以22421ab。解得24c，所以28a，24b。椭圆C的方程为22184xy。（Ⅱ）设11(,)Axy，22(,)Bxy，00(,)Mxy，则221122222828xyxy。两式两端作差得22221212()2()0xxyy，因式分解得1212()()xxxx12122()()yyyy0。0120122()4()0xxxyyy。因为直线l不过原点O且不平行于坐标轴，所以00x，120xx。两端同时除以012()xxx，并整理得01201212yyyxxx，即12OMlkk。（21）（Ⅰ）解：因为()ln(1)fxxax，所以1()fxax1axx。定义域为(0,)。①0a.令()0fx，解得10xa；令()0fx，解得1xa。单调递增区间为1(0,)a，单调递减区间为1(,)a。②0a.令()0fx，解得0x；令()0fx，解集为空集。单调递增区间为(0,)，无单调递减区间。③若0a，则1()fxx。当(0,)x时，()0fx。所以单调递增区间为(0,)，无单调递减区间。（Ⅱ）因为()fx有最大值，所以由（Ⅰ）知0a。当1xa时，()fx最大ln1aa。第10页共11页因为()22fxa