2015年辽宁理科数学高考试题及答案

第1页共11页2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合{2,1,0,2}A，{|(1)(2)0}Bxxx,则A∩B=（）。（A）｛-1,0｝（B）｛0,1｝（C）｛-1,0,1｝（D）｛0，1，2｝（2）若a为实数且(2)(2)4aiaii,则a=（）。（A）-1（B）0（C）1（D）2（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（）。（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著；（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）等比数列{}na满足13a，13521aaa，则357aaa（）。（A）21（B）42（C）63（D）84（5）设函数211log(2),1()2,1xxxfxx，则2(2)(log12)ff（）。（A）3（B）6（C）9（D）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为（）。（A）18（B）17（C）16（D）15第2页共11页（7）过三点(1,3),(4,2),(1,7)ABC的圆交y轴于,MN两点，则||MN=（）。（A）26（B）8（C）46（D）10（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入,ab分别为14,18，则输出的a=（）。（A）0（B）2（C）4（D）14(9)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90o,C为球面上的动点。若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）。（A）36（B）64（C）144（D）256(10)如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x。将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数()fx，则()fx的图像大致为().（（A）（B）（C）（D）（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）。（A）5（B）2（C）3（D）2（12）设函数()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f。当0x时，()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是（）。（A）(,1)(0,1)（B）(1,0)(1,)（C）(,1)(1,0)（D）(0,1)(1,)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）设向量,ab不平行，向量ab与2ab平行，则实数。（14）若,xy满足约束条件1020220xyxyxy，则zxy的最大值为。（15）4()(1)axx的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则a。（16）设nS是数列{)na的前项和，且11a，11nnnaSS，则nS。，第3页共11页三、解答题：（17）（本小题满分12分）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍。（Ⅰ）求sinsinBC；（Ⅱ）若1AD，22DC，求BD和AC的长。（18）（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A,B两底分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度平分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（Ⅰ）根据两组数据完成两地用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件Ｃ：“Ａ地区用户的满意度等级高于Ｂ地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求Ｃ的概率。（19）（本小题满分12分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4。过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF与平面所成角的正弦值。第4页共11页（20）（本小题满分12分）已知椭圆C：2229(0)xymm，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率乘积为定值；（Ⅱ）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。（21）（本小题满分12分）设函数2()mxfxexmx。（Ⅰ）证明：在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]xx，都有12|()()|1fxfxc，求m的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边交于M,N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E,F两点。（Ⅰ）证明：EFBC；（Ⅱ）若AG等于⊙O的半径，且23AEMN，求四边形EBCF的面积。（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1cos:sinxtCyt(t为参数，0t)，其中0。在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C2sin，曲线3:C23cos。（Ⅰ）求2C与3C交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C与2C相交于点A，1C与3C相交于点B，求|AB|的最大值。（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设,,,abcd均为正数，且abcd，证明：（Ⅰ）若abcd，则abcd；（Ⅱ）abcd是||||abcd的充要条件。第5页共11页2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案ABDBCDCBCBDA【详细解析】（1）本题是集合题，辽宁的理科题一般不与其他知识综合，本次命题结合了一元二次不等式的解法。（10）当04x时，点P在线段BC上，如图：tanPBx，24tanPAx。于是PAPB24tantanxx。该表达式不是x的一次函数形式，因而排除选项A,C。设()PAPBfx，则2()4tantanfxxx。04x，()fx是单调递增函数，而且递增的速度越来越快。所以选B。（11）如图，设双曲线的方程为22221xyab，(2,3)Maa，2222(2)(3)1aaab，解得22ab。所以该双曲线为等轴双曲线，离心率为2。（12）设()()fxFxx，则2()()()xfxfxFxx。当0x时，()()0xfxfx，所以此时()0Fx，即()()fxFxx在(0,)上是单调递减函数。据此可得()()fxFxx的图象如图：选A。二、填空题：13.1214.3215.316.1n三、解答题：OPxABCD第6页共11页（17）解：（Ⅰ）设BC边上的高为h，则12ABDSBDh，12ACDSCDh。因为2ABDACDSS，所以12CDBD。AD平分BAC，由根据三角形内角平分线性质定理知，CDACBDAB。根据正弦定理得sinsinBACCAB。于是sin1sin2BC。（Ⅱ）22222BDCD.在ABD和ADC中，由余弦定理可知2222cosABADDBADBDADB12212cosADB，即2322cosABADB；2222cosACADDCADCDADC12121cos22ADC，即232cos2ACADB。因为224ABAC，所以解得2cos4ADB。2322()124AC。于是1AC。（18）（Ⅰ）解：两地区用户满意度评分的茎叶图如右图：从茎叶图可以看出A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散。（Ⅱ）解：A,B两地区评分等级概率如下表：A地区B地区满意度等级不满意满意非常满意不满意满意非常满意概率1535151225110设事件A表示“A地区的满意度等级为满意或非常满意，而B地区的满意度评分等级为不满意”，则()PA3112()5525；设事件B表示“A地区的满意度评分等级为非第7页共11页常满意，而B地区的满意度评分等级为满意”，则()PB1225525。()()()PCPAPB225251225。(19)解:(Ⅰ)交线围成的正方形如右图：过E点作EM⊥AB,在AB上取MH=6，则EH=10，即EH=EF。作HG∥AD,交CD于点G。连结FG。四边形EFGH即为所求作的正方形。（Ⅱ）由(Ⅰ)知AH=10.以D为坐标原点，DA的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则(10,0,0)A，(10,10,0)H，(10,4,8)E，(0,4,8)F。所以(10,0,0)FE，(0,6,8)HE。设(,,)xyzn是平面EFGH的法向量，则00EFEHnn，即100680xyz，所以可以取(0,4,3)n。又(10,4,8)AF，故|cos,|AFn|||AFAF|n|n|44385654515。所以AF与平面所成角的正弦值为4515。（20）（Ⅰ）证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，00(,)Mxy，则222112222299xymxym。两式两端作差得222212129()()0xxyy，因式分解得12129()()xxxx1212()()yyyy0。01201218()2()0xxxyyy。因为直线l不过原点O且不平行于坐标轴，所以00x，120xx。两端同时除以012()xxx，并整理得0120129yyyxxx，即9OMlkk。第8页共11页（21）证明：因为2()mxfxexmx，所以()2mxfxmexm(1)2mxmex。若0,m则当(,0)x时，10mxe，所以()0fx；当(0,)x时，10mxe，所以()0fx。若0,m则当(,0)x时，10mxe，所以()0fx；当(0,)x时，10mxe，所以()0fx。所以()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增。第9页共11页（22）（Ⅰ）证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线。又因为O分别与AB，AC相切于点E,F，所以AE=AF。于是AD⊥EF。所以EF∥BC。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE=AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线。又EF为O的弦，所以O在AD上。连结OE，OM，则OE⊥AE。由AG等于O的半径得AO=2OE，所以o30OAE。因此△ABC和△AEF为正三角形。因为23AE，所以4AO，2OE。因为2OMOE，132DMMN，所以1OD。于是5