极点极线讲稿--邓峰

1一、极点与极线的定义定义1（代数定义）已知圆锥曲线022:22FEyDxCyAx,则称点),(00yxP和直线0)()(:0000FyyExxDyCyxAxl是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以xx0替换2x，以20xx替换x（另一变量y也是如此），即可得到点),(00yxP的极线方程.特别地：（1）对于椭圆12222byax，与点),(00yxP对应的极线方程为12020byyaxx；（2）对于双曲线12222byax，与点),(00yxP对应的极线方程为12020byyaxx；（3）对于抛物线pxy22，与点),(00yxP对应的极线方程为)(00xxpyy.定义2（几何定义）如图1，P是不在圆锥曲线上的点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,,HGFE连接FGEH,交于点N，连接FHEG,交于点M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图1可知，同理PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.MNP称为自极三点形.若连接MN交圆锥曲线于点,,BA则PBPA,恰为圆锥曲线的两条切线.二、极点与极线的基本性质、定理定理1（1）当P在圆锥曲线上时，其极线l是曲线在P点处的切线；（2）当P在外时，其极线l是曲线从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；（3）当P在内时，其极线l是曲线过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.2定理2（配极原则）（1）点P关于圆锥曲线的极线p经过点Q点Q关于的极线q经过点P;（2）直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.特别地：圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线.（1）对于椭圆12222byax而言，右焦点)0,(cF对应的极线为1022byaxc，即cax2，恰为椭圆的右准线.对于椭圆12222byax而言，点)0,(mM对应的极线方程为max2;（2）对于双曲线12222byax而言，点)0,(mM对应的极线方程为max2；（3）对于抛物线pxy22而言，点)0,(mM对应的极线方程为mx.定理3下面再给出与圆锥曲线的极点和极线有关的性质.性质1如图，已知点A是椭圆)0(12222babyax上任一点，极点)0,,)(0,(tctattP，相应的极线tax2.椭圆在点A处的切线与极线tax2交于点N，过点N作直线AP的垂线MN，垂足为M，则直线MN恒过x轴上的一个定点Q，且点M的轨迹是以PQ为直径的圆（点Q除外）.性质2如图，已知点A是双曲线)0,0(12222babyax上任一点，极点)0,(tP),(ctat，相应的极线tax2.双曲线在点A处的切线与极线tax2交于点N，过点N作直线AP的垂线MN，垂足为M，则直线MN恒过x轴上的一个定点Q，且点M的轨迹是以PQ为直径的圆（点Q除外）.3性质3如图，已知点A是抛物线)0(22ppxy上任一点，极点)0,(tP)2,0(ptt，相应的极线为tx.抛物线在点A处的切线与极线tx交于点N，过点N作直线AP的垂线MN，垂足为M，则直线MN恒过x轴上的一个定点Q，且点M的轨迹是以PQ为直径的圆（点Q除外）.定理4如图，设圆锥曲线的一个焦点为F，与F相应的准线为l.（1）若过点F的直线与圆锥曲线相交于NM,两点，则在NM,两点处的切线的交点Q在准线l上，且MNFQ;（2）若过准线l上一点Q作圆锥曲线的两条切线，切点分别为NM,，则直线MN过焦点F，且MNFQ；（3）若过焦点F的直线与圆锥曲线相交于NM,两点，过F作MNFQ交准线l于Q，则连线QNQM,是圆锥曲线的两条切线.定理5设椭圆)0(12222babyax的一个焦点为F，相应的准线为l，过焦点F的直线交椭圆于BA,两点，C是椭圆上任意一点.直线CBCA,交准线l于NM,两点，则以MN为直径的圆必过F.三、历年高考题【例1】（2011年四川高考理数21题第（2）问）如图，椭圆有两顶点)0,1(A、)0,1(B，过其焦点)1,0(F的直线l与椭圆交于DC,两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.当点P异于BA,两点时，求证：OQOP为定值.【例2】（2010年高考全国卷I理数21题第（1）问）已知抛物线xyC4:2的焦点为F，过点)0,1(K的直线l与C相交于BA,两点，点A关于x轴的4对称点为D.证明：点F在直线BD上.【例3】（2010江苏卷文理18）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆15922yx的左右顶点为BA,，右焦点为F.设过点),(mtT的直线TBTA,与此椭圆分别交于点),(),,(2211yxNyxM，其中0,0,021yym.设9t，求证直线MN必过x轴上一定点（其坐标与m无关）.【例4】（2012年北京卷19）已知曲线)(8)2()5(:22RmymxmC（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围.（2）设4m，曲线C与y轴交点为BA,（点A位于点B的上方），直线4kxy与曲线C交于不同的两点NM,，直线1y与直线BM交于点G.求证：NGA,,三点共线.【例5】（2012年福建卷理19）如图，椭圆)0(1:2222babyaxE的左焦点为1F，右焦点为2F，离心率21e，过1F的直线交椭圆于BA,两点，且2ABF的周长为8.（1）求椭圆E的方程.（2）设动直线mkxyl:与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线4x相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【例6】（2006年全国卷Ⅱ理21）已知抛物线yx42的焦点为F，BA,是抛物线上的两动点，且)0(FBAF，过BA,两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P.（1）证明ABFP为定值；（2）设ABP的面积为S，写出)(fS的表达式，并求S的最小值.【例7】（2014年江西卷理20）如图，已知双曲线)0(1:222ayaxC的右焦点为F，点BA,分别在C的两条渐近线上，xAF轴，BFOBAB,∥OA.5（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点)0)(,(000yyxP的直线1:020yyaxxl与直线AF相交于点M，与直线23x相交于点N，证明点P在C上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值.【例8】（2013年江西卷理20）椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率23e，3ba.（1）求椭圆C的方程；（2）如图所示，DBA,,是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明：km2为定值.【例9】（2009年福建）如图，已知椭圆C的离心率为23e长轴的左右端点分别为)0,2(),0,2(21AA.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线1myx与椭圆C交于QP,两点，直线PA1与QA2交于点S.试问当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【例10】（2006年全国卷Ⅱ理21）已知抛物线yx42的焦点为F，BA,是抛物线上的两动点，且)0(FBAF，过BA,两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P.（1）证明ABFP为定值;（2）设△ABP的面积为S，写出)(fS的表达式，并求S的最小值.