求解函数定义域、值域、解析式讲义(精华版)

必修一第二章函数第1页共12页求解函数定义域、值域、解析式【课堂笔记】知识点一定义域、值域的定义在函数)(xfy中，x叫做自变量，x的取值范围的集合A叫作函数的定义域；与x的值相对应的值y叫作函数值，函数值的集合})({Axxf叫作函数的值域。下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。（1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。（2）定义域是一个集合，其结果可用集合或区间来表示。（3）若函数)(xf是整式型函数，则定义域为全体实数。（4）若函数)(xf是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。（5）若函数)(xf是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。（6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。（7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有意义的公共部分的集合。（8）复合函数的定义域问题：①若已知)(xf的定义域为],[ba,则复合函数))((xgf的定义域可由不等式bxga)(解出；②若已知))((xgf的定义域为],[ba，则函数)(xf的定义域，即为当],[bax时函数)(xg的值域。【例1】求下列函数的定义域（1）1xy（2）xy21（3）0)1(21xxy【例2】求下列函数的定义域（1）xy1111；（2）142xxy；必修一第二章函数第2页共12页（3）232-751xxy；（4）111032xxxy【当堂检测】1.函数xxxy432的定义域为（）A.[-4,1]B.0,4C.1,0D.1,00,42．函数xxxy)1(的定义域为（）A.}0{xxB.}1{xxC.{0}}1{xxD.}10{xx3.求下列函数的定义域（1）23)(xxf（2）xxxf211)(（3）xxxf511)(知识点二抽象函数（复合函数）的定义域1.抽象函数求定义域问题的关键是注意对应关系，在同一对应关系作用下，不管接受对应关系的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。2.已知函数)(xf的定义域为],[ba，则函数)(）（xgf的定义域是指满足不等式bxga)(的x的取值集合。一般地，函数)(）（xgf的定义域为],[ba，指的是],[bax，要求)(xf的定义域，就是求],[bax时)(xg的值域。【例1】已知)(xfy的定义域为]2,0[，求①)(2xf；②)12(xf；③)2(xf的定义域。必修一第二章函数第3页共12页【例2】已知函数)1(2xf的定义域为]1,0[，求)(xf的定义域。【例3】已知函数)(xf的定义域为]1,0[，求)0)(()()(mmxfmxfxg的定义域。【当堂检测】1、已知)(xf的定义域为]2,0[，求)1(xfy的定义域。2、已知)1(xfy的定义域为]2,0[，求)(xf的定义域。3、已知函数)1(xf的定义域为[-2,3），求)21(xf的定义域。知识点三函数解析式求法1.待定系数法当已知函数)(xf的类型时，要求函数)(xf的解析式，可先由其类型设出解析式，然后根据已知条件列方程（组）求解。如已知)(xf为一次函数，且其图像经过点（0,1）和（1,0），可设bkxxf)(（0b），必修一第二章函数第4页共12页将已知点的坐标代入得01bkb，解得此方程组得11bk，故1)(xxf。【例1】设1613)13()2(2xxxfxf，求)(xf。【例2】已知函数2)(xxf，)(xg为一次函数，且一次项系数大于0，若25204)]([2xxxgf，求)(xg的解析式。【当堂检测】1、若2627)))(((xxfff，求一次函数)(xf的解析式。2、若)(xf是二次函数，且满足,2)()1(,1)0(xxfxff求)(xf。2.配凑法已知)]([xgf的解析式，要求)(xf时，可从)]([xgf的解析式中拼凑出“)(xg”作为整体来表示，再必修一第二章函数第5页共12页将解析式两边的)(xg都用x代替即可。如已知1)1(2xxxf（此解析式中的)(xg=1x），求)(xf时，可整理22)1(1)1(xxxxf，用x代替等号两边的1x，得2)(xxf。【例3】已知23)1(2xxxf，求)(xf；【当堂检测】1.已知xxxxxf11)1(22，求)(xf2.已知2)1()1(xxxxf，求函数)(xf的解析式；3.换元法令)(xgt，等价变换为用t表示x的解析式。然后求出)(tf的解析式，最后用x代替等式两边所有的t即可。如已知1)1(2xxxf，令1xt，则1tx，所以221)1(2)1()(ttttf，故2)(xxf。【例4】若xxfxf2)1(2)1(3，求)(xf。必修一第二章函数第6页共12页【当堂检测】1.已知2)1(2xxxf，求)3(),()3(xfxff及2.已知),0(5)1(2xxxxf求)(xf的解析式。3.已知函数xxxf21）（，求函数)(xf的解析式。4.方程组法当关系式中同时含有)(xf与)(xf或)(xf与)1(xf时，常将原式中的x用x（或x1）代替，从而得到另一个同时含)(xf与)(xf或)(xf与)1(xf的关系式，将这两个关系式联立，解方程组解出)(xf。如已知)0()1()(2xxxfxf，求)(xf的解析式时，可将原式中的x用x1代替，可得)0(1)()1(2xxxfxf，解方程组xxfxfxxfxf1)()1(2)1()(2得xxxf3132)(。必修一第二章函数第7页共12页【例5】设xxfxf4)1(2)(3，求)(xf的解析式。【当堂检测】1.若,,4)43()34(22baxxbfxaf求)(xf的解析式。2.已知)1,0(1)1()(xxxxfxf，求)(xf的解析式。5.特殊值法所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，求出未知的函数。至于取什么特殊值，根据题目特征而定。【例6】设)(xf是R上的函数，且满足1)0(f，并且对任意实数yx,有)12()()(yxyxfyxf，求)(xf的解析式。知识点四函数值域的求法【重点、难点】1.观察法通过对函数解析式进行变形，利用熟悉的基本函数的值域，求函数的值域。如求函数112xy的值必修一第二章函数第8页共12页域，由02x得112x，再求倒数得11102x，故其值域为]1,0(。【例1】求下列函数的值域：（1）}5,4,3,2,1{,12xxy；（2）1xy2.配方法对二次函数型的解析式可先进行配方，在自变量的取值范围内，求出二次函数的值域的方法，这就是配方法。【例2】求函数245xxy的值域。3.换元法通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。【例3】求函数12xxy的值域。4.分离常量法将形如)0(adbcacbaxdcxy且的函数分离常数，变形过程为baxabcdacbaxabcdbaxacbaxdcx)(，再结合x的取值范围确定baxabcd的取值范围，从而确定函数的值域。【例4】求函数2415xxy的值域。5.判别式法将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些可化为关于自变量的二次必修一第二章函数第9页共12页方程的函数，使用此法要特别注意自变量的取值范围。【例5】求函数122xxxxy的值域。【当堂检测】求下列函数的值域：（1）52xy（2）)5,1[,642xxxy（3）Rxxxy,4124（4）12xxy（5）5312xxy。知识点五函数定义域、值域的逆向应用1.函数定义域的逆向应用定义域的逆向问题在思考时要调整思维方向，在定义域已知的情况下，根据函数类型列出相应关系式，求出参数的范围。【例1】（1）若函数12)1()1()(22axaxaxf的定义域为R，求实数a的取值范围。（2）判断k为何值时，函数12822kxkxkxy关于x的定义域为R。必修一第二章函数第10页共12页2.函数值域的逆向应用【例2】求使函数1222xxaxxy的值域为)2,(的a的取值范围。知识点六数学思想方法方法一分类讨论思想【例1】已知函数862mmxmxy的定义域是R，求实数m的取值范围。方法二函数与方程思想【例2】求函数3274222xxxxy的值域。方法三转化思想【例3】求函数xxy21的值域。必修一第二章函数第11页共12页第二部分：【小试牛刀】1.(全国考高Ⅰ)函数xxy1的定义域（）A.}1{xxB.}0{xxC.}01{xxx或D.}10{xx2.(全国高考)函数xxx)1(y的定义域（）A.}0{xxB.}1{xxC.{0}}1{xxD.}10{xx3.（上海高考）函数16)(2xxxxf的定义域____________.4.(江西高考)函数xxxxf43)(2的定义域______________.5.求下列函数的定义域：（1）2322xxxy（2）xxy11；（3）xy113（4）2253xxy6.复合函数求定义域必修一第二章函数第12页共12页（1）已知函数)(xf的定义域为]23,21[，求)0)(()()(aaxfaxfxF的定义域。（2）已知函数)12(xf的定义域为（0,1），求)12(xf的定义域。7.已知xxfxxf2)11()(2，求函数)(xf的解析式。8.（1）已知64)1(2xxxf，求)(xf的解析式；（2）已知2211)11(xxxxf，求)(xf的解析式；（3）设)(xf的定义域在（1，+∞）上的一个函数，且有1)1(2)(xxfxf，求)(xf的解析式。