微观经济学计算题

1第二章需求、供给计算题1、假设X商品的需求曲线为直线，QX=400.5PX,,Y商品的需求曲线也为直线,X与Y的需求线在Px=8的那一点相交,在Px=8的那一点上,X的需求弹性的绝对值只有的Y的需求弹性的绝对值的一半，请根据上述条件求Y的需求函数。解:当PX=8时,QX=36,且|EX|=1/9,故|EY|=2/9,设Y商品的需求函数为QY=a-bPY,由此可得b=1,由于36=a-8,得a=44,故Y商品的需求函数为QY=44-PY.2、某人每周收入120元，全部花费在X和Y两种商品上，他的效用函数为U=XY，PX=2元，PY=3元。求（1）为获得最大效用，他会购买几单位X和Y？（2）货币的边际效用和总效用各多少？（3）假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为使他保持原有的效用水平，收入必须增加多少？解:（1）由U=XY，得MUX=Y，MUY=X，根据消费者均衡条件得Y/2=X/3考虑到预算方程为2X+3Y=120解得X=30，Y=20（2）货币的边际效用λ=MUX/PX=Y/PX=10总效用TU=XY=600（3）提价后PX=2.88新的消费者均衡条件为Y/2.88=X/3由题意知XY=600，解得X=25，Y=24将其代入预算方程M=2.88×25+3×24=144元ΔM=144-120=24元因此，为保持原有的效用水平，收入必须增加24元。3、证明需求曲线P=a/Q上的点均为单一弹性证明：dQ/dP=-aP-2,Ed=(dQ/dP)(P/Q)=(-aP-2)(P/aP-1)=-1,故|Ed|=1，为单一弹性。4、1986年7月某外国城市公共汽车票价从32美元提高到40美元,1986年8月的乘客为880万次,与1985年同期相比减少了12%,求需求的弧弹性.解:由题设,P1=32,P2=40,Q2=880Q1=880/(1-12%)=880/88%=10002于是,Ed=[(Q2-Q1)/(P2-P1)]×[(P1+P2)/(Q1+Q2)]≈-0.57故需求弹性约为-0.57.5、设汽油的需求价格弹性为-0.5，其价格现为每加仑1.20美元，试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少10％？解：因为（dQ/Q）·（P/dP）=-0.5要使dQ/Q=-10%，则有dP/P=1/5dP=1.2×0.2=0.24所以每加仑汽油价格要上涨0.24美元6、某电脑公司生产的芯片的需求弹性为-2，软盘驱动器的弹性为-1，如果公司将两种产品都提价2%，那么这些产品的销售将会怎样变化？解：因为芯片弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-2所以dQ/Q=-2×2%=-4%因为软盘驱动器弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-1所以dQ/Q=-1×2%=-2%即提价2%后，芯片销售下降4%，软盘驱动器销售下降2%。7、消费x,y两种商品的消费的效用函数为：u=xy,x,y的价格均为4，消费者的收入为144，求x价格上升为9，所带来的替代效应和收入效应。解：Mux=yMuy=x因为Mux/Px=Muy/Py得X=y又因为4X+4y=144得X=y=18购买18单位x与18单位y，在x价格为9时需要的收入M=234在实际收入不变时，Mux/Muy=Px/Py=y/x=9/4且9x+4y=234得x=13，可以看出由于替代效应对X商品的购买减少5单位。再来看价格总效应，当Px=9,Py=4时，Mux=yMuy=xY/x=9/4且9x+4y=144得X=8y=18由此可见价格总效应使X商品的购买减少10单位，收入效应与替代效应各为5单位。8、某消费者消费X和Y两种商品时，无差异曲线的斜率处处是Y/X，Y是商品Y的消费量，X是商品X的消费量。（1）说明对X的需求不取决于Y的价格，X的需求弹性为1；（2）PX=1，PY=3，该消费者均衡时的MRSXY为多少？（3）对X的恩格尔曲线形状如何？对X的需求收入弹性是多少？解：（1）消费者均衡时，MRSXY=Y/X=PX/PY，即PXX=PYY，又因为PXX+PYY=M，故X=M/2PX，可见对X的需求不取决于Y的价格。由于dX/dPX=-M/2PX2|EX|=-(dX/dPX)(PX/X)=13(2)已知PX=1，PY=3，消费者均衡时，MRSXY=PX/PY=1/3。（3）因为X=M/2PX，所以dX/dM=1/2PX，若以M为纵轴，X为横轴，则恩格尔曲线是从原点出发，一条向右上方倾斜的直线，其斜率是dM/dX=2PX。对X的需求收入弹性EM=（dX/dM）（M/X）=19、已知销售商品X的总收益（R=PQ）方程为：R=100Q-2Q2，计算当边际收益为20时的点价格弹性。解：由R=100Q-2Q2，得MR=dR/Dq=100-4Q当MR=20时，Q=20，考虑到R=PQ=100-2Q2，得P=100-2Q=60Ed=(dQ/dP)·(P/Q)=(-1/2)·(60/20)=-3/210、X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：PX=1000-5QX，PY=1600-4QY，这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。（1）求X和Y当前的价格弹性；（2）假定Y降价后，使QY增加到300单位，同时导致X的销售量QX下降到75单位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少？（3）假定Y公司的目标是谋求销售收入最大化，你认为它降价在经济上是否合理？解：（1）PX=1000-5QX=1000-5×100=500PY=1000-5QY=1600-4×250=600EdX=(dQX/dPX)·(PX/QX)=(-1/5)·(500/100)=-1EdY=(dQY/dPY)·(PY/QY)=(-1/4)·(600/250)=-3/5（2）由题设，QY’=300,QX’=75则PY’=1600-4QY’=400ΔQX=-25,ΔQY=-200于是EXY=(ΔQX/ΔPY)·[(PY+PY’)/2]·[2/(QX+QX’)]=5/7(3)根据(1)得知Y公司产品在价格P=600时,需求价格弹性为-3/5,说明缺乏弹性,这时降价会使销售收入减少,故降价不合理.第三章消费者行为理论计算题1、某人每周花360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:U=2X2Y,求在均衡状态下,他如何购买效用最大?4解:max:U=2X2YS.T360=3X+2Y构造拉格朗日函数得:W=2X2Y+λ(360-3X-2Y)dW/Dx=MUx-3λ=4xy-3λ=0dW/Dy=MUy-2λ=2x2-2λ=0求得:4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=602、求最佳需求，maxU=X1+(X2-1)3/3S.T4X1+4X2=8(1)如果效用函数变为U=3X1+(X2-1)3,而预算约束不变则最佳需求会改变吗？(2）如果效用函数不变，而预算约束变为2X1+2X2=4,则最佳需求会改变吗？．解：运用拉格朗日函数，L=X1+(X2-1)3/3+λ(8-4X1-4X2)dL/dX1=1-4λ=0dL/dX2=(x2_1)2-4λ=0显然，（X2-1）2=1,求得：X2=0,X1=2;或X2=2,X1=0代入总效用函数,可将X2=2,X1=0舍去,因此最佳需求为X2=0,X1=2当U=3X1+(X2-1)3时，同理求得X1=2,X2=0,即最佳需求不变.当预算约束变为2X1+2X2=4时,同理求得:X1=2,X2=0,最佳需求也不变.3、某人的收入为10000元，全部用于购买商品X和商品Y（各自的价格分别为50、20元），其效用函数为u=xy2。假设个人收入税率为10%，商品X的消费税率为20%。为实现效用极大化，该人对商品x、y的需求量应分别为多少？解：M=10000（1-10%）=9000Px=50（1+20%）=60Py=20预算约束式：60x+20y=9000由此可得y=450-3x代入u=xy2的得u=9(x3-300x2+22500x）由du/dx=9（3x2-600x+22500）=0得x1=150x2=50由于x1=150时,u=0不合题义，所以该人需求量为x=50，y=300。54、所有收入用于购买x,y的一个消费者的效用函数为u=xy，收入为100，y的价格为10，当x的价格由2上升至8时，其补偿收入（为维持效用水平不变所需的最小收入）是多少？解：最初的预算约束式为2x+10y=100效用极大化条件MUx/Muy=Px/Py=2/10由此得y/x=1/5x=25,y=5,u=125价格变化后，为维持u=125效用水平，在所有组合(x,y)中所需收入为m=8x+10y=8x+10·125/x最小化条件（在xy=125的约束条件下）dm/dx=8-1250x-2=0解得x=12.5,y=10,m=2005、若某消费者的效用函数为U=XY4，他会把收入的多少用于商品Y上？解:由U=XY4，得MUX=Y4，MUY=4XY3，根据消费者均衡条件得Y4/PX=4XY3/PY，变形得：PXX=（1/4）PYY，将其代入预算方程得PYY=（4/5）M，即收入中有4/5用于购买商品Y。6、设某消费者的效用函数为U（x,y）=2lnx+(1-α)lny；消费者的收入为M;x,y两商品的价格分别为PX，PY；求对于X、Y两商品的需求。解:构造拉格朗日函数L=2lnX+(1-α)lnY+λ(M-PXX-PYY)对X、Y分别求一阶偏导得2Y/(1-α)X=PX/PY代入PXX+PYY=M得:X=2M/(3-α)PXY=(1-α)M/(3-α)PY7、某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数X，和对商品Y的消费量，购买Y的支出全部来源于其劳动天数L所得的工资。假设日工资为100元，商品Y的价格为50元，问该人若想实现效用最大化（U=X2Y3），则他每年应安排多少个劳动日？解：预算约束式为50Y=100L，即Y=2L=2（365-X）构造拉格朗日函数L=X2Y3-λ(Y+2X-730）对X、Y分别求一阶偏导得Y=3X，进而得X=146，Y=438，L=219,6即该人每年应安排219个工作日.8、消费X，Y两种商品的消费者的效用函数为U=X3Y2，两种商品的价格分别为PX=2，PY=1，消费者收入为M=20，求其对X，Y的需求量。解：PXX+PYY=M2X+Y=20U=X3（20-2X）2=400X3—80X4+4X5效用极大1200X2-320X3+20X4=0解得X1=0，X2=6，X3=10X=0或10时U=0，不合题意所以X=6，Y=8。9、令消费者的需求曲线为P=a-bQ,a,b0,并假定每单位商品征收t单位的销售税，使得他支付的价格提高到P(1+t)。证明，他的消费者剩余的损失将总是超过政府因征税提高的收益。解:设价格为P时，消费者的需求量为Q1，由P=a-bQ1,得Q1=（a-P）/b。又设价格为P(1+t)时，消费者的需求量为Q2，则Q2=[a-P(1+t)]/b消费者剩余的损失=∫0Q1(a-bQ)dQ-PQ1-[∫0Q2(a-bQ)dQ-P(1+t)Q2]=∫Q1Q2(a-bQ)dQ+P(1+t)Q2-PQ1=(aQ-bQ2/2)∣Q1Q2+P(1+t)Q2-PQ1政府征税而提高的收益=P(1+t)Q2-PQ1消费者剩余损失—政府征税得到的收益=(aQ-bQ2/2)∣Q1Q2=(aQ1-bQ12/2)-(aQ2-bQ22/2)=（2tP+t2P2）/2b因为b、t、P0所以（2tP+t2P2）/2b0因此，消费者剩余的损失要超过政府征税而提高的收益。第四章生产者行为理论计算题1、生产函数为Q=LK-0.5L2+0.08K2，现令K=10，求出APL和MPL。7解：APL=10-0.5L+8/L，MPL=K-L=10-L2、假定某大型生产企业，有三种主要产品X、Y、Z，已知它们的生产函数分别为：QX=1.6L0.4C0.4M0.1QY=(0.4L2CM)1/2QZ=10L+7C+M试求这三种产品的生产规模报酬性质.解：fX(λL,λC,λM)=1.6(λL)0.4(λC)0.4(λM)