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第二节圆与方程求圆的方程考向聚焦高考常考内容,主要考查(1)利用圆的几何性质求圆的方程;(2)利用待定系数法求圆的方程,一般以选择题、填空题形式出现,难度中低档,所占分值4~5分1.(2010年福建卷,理2)以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()(A)x2+y2+2x=0(B)x2+y2+x=0(C)x2+y2-x=0(D)x2+y2-2x=0解析:抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),故以(1,0)为圆心且过原点的圆的半径为1,∴圆的方程为(x-1)2+y2=1,即:x2+y2-2x=0.故选D.答案:D.2.(2010年广东卷,理12)已知圆心在x轴上,半径为的圆Ｏ位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆Ｏ的方程是.解析:由题意可设圆Ｏ的方程为(x-a)2+y2=2(a0),由题意得=,即|a|=2,所以a=-2,故所求圆Ｏ的方程为(x+2)2+y2=2.答案:(x+2)2+y2=23.(2010年全国新课标卷,理15)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.解析:设圆C的圆心为(a,b),半径为r,则有(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可知,解得a=3.又∵kBC==-1,∴b=0,∴C(3,0).又∵r==,∴圆C的方程为(x-3)2+y2=2.答案:(x-3)2+y2=2直线与圆、圆与圆的位置关系考向聚焦高考常考内容以直线与圆的位置关系为主,考查直线与圆相切、相交问题,一般以选择题、填空题形式出现,难度中档,所占分值4~5分4.(2012年重庆卷,理3,5分)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是()(A)相离(B)相切(C)相交但直线不过圆心(D)相交且直线过圆心解析:法一:圆心到直线y=kx+1的距离d=,又圆心(0,0)不在直线y=kx+1上,故直线y=kx+1与圆x2+y2=2相交且不过圆心.法二:几何法.因直线y=kx+1过定点A(0,1),点A(0,1)在圆x2+y2=2的内部,故直线y=kx+1与圆x2+y2=2相交,又圆心(0,0)不在直线y=kx+1上.故选C.答案:C.5.(2012年陕西卷,理4,5分)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则()(A)l与C相交(B)l与C相切(C)l与C相离(D)以上三个选项均有可能解析:由于把点P(3,0)代入圆C的方程中,有:32+02-4×30,所以点P在圆C内部,故直线l过点P时,一定与圆C相交.答案:A.6.(2012年天津卷,理8,5分)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是()(A)[1-,1+](B)(-∞,1-]∪[1+,+∞)(C)[2-2,2+2](D)(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)解析:本题考查直线与圆的位置关系及基本不等式的应用,属中档题.∵直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,∴=1.∴m+n+1=mn≤()2,令t=m+n,则1+t≤t2,∴t2-4t-4≥0,∴t≥2+2或t≤2-2.故选D.答案:D.本题考查基本不等式的灵活运用,属知识交汇点的考查,在复习中要注意,属中档题.7.(2011年江西卷,理9)若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是()(A)(-,)(B)(-,0)∪(0,)(C)[-,](D)(-∞,-)∪(,+∞)解析:由y(y-mx-m)=0,得y=0或y=m(x+1)(m≠0),故曲线C2表示两条直线y=0和y=m(x+1)(m≠0),若曲线C1与曲线C2有四个交点,则直线y=m(x+1)与圆C1有两个交点,即有两解:消y得(1+m2)x2+2(m2-1)x+m2=0,由Δ=4(m2-1)2-4m2(1+m2)0得-m(m≠0).答案:B.8.(2012年江苏数学,12,5分)在平面直角坐标系xＯy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.解析:本题考查圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系.法一:设直线上一点为(t,kt-2),圆心C为(4,0),则两圆的圆心距满足≤2对t∈R有解即(1+k2)t2-(4k+8)t+16≤0有解,所以有(4k+8)2-4×16(1+k2)≥0,所以0≤k≤.法二:由题意,圆心C到直线的距离不大于2,圆心C为(4,0),∴d=≤2,∴0≤k≤.答案:本题对直线与圆的位置关系给出了新的语言,题目焕然一新.9.(2010年江苏卷,9)在平面直角坐标系xＯy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.解析:要使圆上有且只有4个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,只需原点Ｏ到直线的距离d满足0≤d1,∴0≤1,∴-13c13.答案:(-13,13)10.(2012年全国大纲卷,理21,12分)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+(y-)2=r2(r0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r;(2)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离.解:(1)设A(x0,(x0+1)2).对y=(x+1)2求导得y'=2(x+1).故l的斜率k=2(x0+1).当x0=1时,不合题意,所以x0≠1.圆心为M(1,),MA的斜率k'=.由l⊥MA知k·k'=-1,即2(x0+1)·=-1,解得x0=0,故A(0,1),r=|MA|==,即r=.(2)设(t,(t+1)2)为C上一点,则在该点处的切线方程为y-(t+1)2=2(t+1)(x-t),即y=2(t+1)x-t2+1.若该直线与圆M相切,则圆心M到该切线的距离为,即=,化简得t2(t2-4t-6)=0,解得t0=0,t1=2+,t2=2-.抛物线C在点(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)处的切线分别为l,m,n,其方程分别为y=2x+1①y=2(t1+1)x-+1,②y=2(t2+1)x-+1,③②-③得x==2.将x=2代入②得y=-1,故D(2,-1).所以D到l的距离d==.与弦有关的问题考向聚焦高考热点,主要从两个方面考查(1)求弦长;(2)讨论参数的范围,多以选择题、填空题形式出现,难度中档,所占分值4~5分备考指津求弦长问题一般应用圆心到直线的距离公式或弦心距、半径、半弦构成的直角三角形求解,要注意转化思想的应用及数形结合思想的训练11.(2011年重庆卷,理8)在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()(A)5(B)10(C)15(D)20解析:由x2+y2-2x-6y=0得(x-1)2+(y-3)2=10,即此为以F(1,3)为圆心,以为半径的圆的方程,由题意过E(0,1)的最长弦为直径,则|AC|=2,过E(0,1)的最短弦是以E(0,1)为弦中点的弦,其长|BD|=2=2,∴S四边形ABCD=|AC||BD|=×2×2=10,选B.答案:B.12.(2010年江西卷,理8)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是()(A)[-,0](B)(-∞,-]∪[0,+∞)(C)[-,](D)[-,0]解析:设圆心C(3,2)到直线y=kx+3的距离为d,则d=,所以|MN|=2=2,又|MN|≥2,∴|MN|2≥12,即4[4-]≥12,∴-≤k≤0,故选A.答案:A.