《绝对值》典型例题

1/4《绝对值》典型例题例1求下列各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来．87，91，0，－1.2分析首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出2.187，其他数的比较就容易了．解.2.12.1,00,9191,8787.2.187091说明：利用绝对值只是比较两个负数．例2求下列各数的绝对值：（1）－38；（2）0.15；（3）)0(aa；（4）)0(3bb；（5）)2(2aa；（6）ba．分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论．解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；（3）∵a＜0，∴|a|＝－a；（4）∵b＞0，∴3b＞0，|3b|＝3b；（5）∵a＜2，∴a-2＜0，|a-2|＝-(a-2)＝2-a；（6）).();(0);(baabbabababa说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．2/4例3一个数的绝对值是6，求这个数．分析根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是6．说明：互为相反数的两个数的绝对值相等．例4计算下列各式的值（1）272135；（2）21354543；（3）71249；（4）.21175.0分析这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算．解（1）83272135272135；（2）2162135454321354543；（3）1057124971249；（4）.5.021175.021175.0说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如（2）题．例5已知数a的绝对值大于a，则在数轴上表示数a的点应在原点的哪侧？分析确定表示a的点在原点的哪侧，其关键是确定a是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定a是负数．解由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以a是负数，故表示数a的点应在原点的左侧．说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值．例6判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：（1）aa；（）（2）aa；（）3/4（3）)0(aaaaa；（）（4）若|a|＝|b|，则a＝b；（）（5）若a＝b，则|a|＝|b|；（）分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a＝1，则-|a|＝-|1|＝-1，而|-a|＝|-1|＝1，所以-|a|≠|-a|．在第(4)小题中取a＝5，b＝-5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：当0a时，1aaaa，而1aaaa，aaaa成立；当0a时，1aaaa，而1aaaa，aaaa也成立．这说明0a时，总有成立．此题证明的依据是利用的定义，化去绝对值符号即可．解：其中第(2)、(4)、小题不正确，(1)、(3)、(5)小题是正确的．说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．例7若0512yx，则yx2等于（）．分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数．”利用这一特点可得012x；05y．而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0．则012x，21x；05y，5y．故452122yx．说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点到原点的距离．绝对值的这个特性今后会经常用到．几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0．4/4例8计算)5(13xxx．分析：要计算上式的结果，关键要弄清x3和1x的符号，再根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．可求上式的结果，又∵5x，故03x，而01x．解：又∵5x，∴03x，01x，∴421313xxxxx．说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子同，首先应确定代数式的符号．另外，要求出负数的相反数．