绝对值性质及运用

绝对值性质及运用1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。2、绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a（a＞0）（2）|a|=0（a=0）（代数意义）-a(a＜0)（3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）（6）|ab|=|a|·|b|；|ba|=||||ba（b≠0）；（7）|a|2=|a2|=a2；【例1】（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2）若ab|ab|，则下列结论正确的是（）A.a＜0，b＜0B.a＞0，b＜0C.a＜0，b＞0D.ab＜0（3）下列各组判断中，正确的是（）A．若|a|=b，则一定有a=bB.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC.若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b，则一定有a2=(-b)2（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个绝对值的定义及性质（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。（3）选择D。（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9【巩固】1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？2、有理数a与b满足|a||b|，则下面哪个答案正确（）A.a＞bB.a=bC.abD.无法确定3、若|x-3|=3-x，则x的取值范围是____________4、若a＞b，且|a||b|，则下面判断正确的是（）A.a＜0B.a＞0C.b＜0D.b＞05、设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？【例2】若3|x-2|+|y+3|=0，则xy的值是多少？分析：|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，xy=23【巩固】若|x+3|+(y-1)2=0，求nxy)4(的值小知识点汇总：（本源|a|≥0b2≥0）若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0【例3】（1）已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿（2）已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（3）已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿简单的绝对值方程（4）如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？分析：（1）4，-4（2）2，-2，（3）2，-2（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x，x-y≤0；当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意；当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。【巩固】若|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值【例4】解方程：05|5|23x分析：原方程可变形为：|x+5|=310，所以有x+5=±310，进而可得：x=-35，-325；【巩固】解方程：（1）|4x+8|=12（2）|3x+2|=-1【例5】若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求12abababa的值分析：a与b互为相反数，那么a+b=0。12abababa=,4,4||,1001)(babaabaabbaaabba当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；综上可得12abababa=4【例6】化简：|a-b|分析：分类讨论。当a-b＞0时，即a＞b，|a-b|=a-b；化简绝对式当a-b=0时，即a=b，|a-b|=0；当a-b＜0时，即a＜b，|a-b|=b-a。【巩固】化简：（1）|3.14-π|（2）|8-x|（x≥8）（3）|2x-1|【例7】有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c【巩固】已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|【例8】若abc≠0，则||||||ccbbaa的所有可能值分析：从整体考虑：（1）a，b，c全正，则||||||ccbbaa=3；（2）a，b，c两正一负，则||||||ccbbaa=1；（3）a，b，c一正两负，则||||||ccbbaa=-1；（4）a，b，c全负，则||||||ccbbaa=-3【巩固】有理数a，b，c，d，满足1||abcdabcd，求ddccbbaa||||||||的值CB0Aa0cb1、若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且abc,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿2、对于|m-1|，下列结论正确的是（）A.|m-1|≥|m|B.|m-1|≤|m|C.|m-1|≥|m|-1D.|m-1|≤|m|-13、设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|4、已知有理数a，b，c满足1||||||ccbbaa，求abcabc||的值5、若a，b，c，d为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|6、化简|x+5|+|2x-3|附加习题1、|m+3|+|n-27|+|2p-1|=0,求p+2m+3n的值2、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y0，则x+y的值为多少？（2）解方程：|4x-5|=83、（1）有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|（2）若a＜b，求|b-a+1|-|a-b-5|的值（3）若a＜0，化简|a-|-a||4、已知a是非零有理数，求||||||3322aaaaaa的值5、化简|x-1|-|x-3|练习三ac0b