第六讲生产函数与规模报酬

第六讲生产函数与规模报酬主要学习问题：一、生产与技术二、产出弹性与生产要素的分配三、利润最大化的选择四、生产成本分析五、利润函数与生产供给一、生产与技术一、生产技术与生产函数•1、技术•生产技术是生产的投入、要素与产出量之间的关系。•生产的投入要素又称生产要素。通常我们将生产要素分为三类：劳动、原料与资本品。•生产技术是对企业的一种可行性约束。一般来说，企业决策面临三类约束：一是资金约束，又称预算约束；二是市场需求约束；三是生产技术约束。2、生产集•是用来表示在一定的技术水平下的投入产出的可能性集。•在一个具体的生产计划中，厂商可能有许多个投入组合，但不一定每一个都在技术上可行。•3、生产函数•生产的可能性边界就叫生产函数。是用于表示投入产出关系的数学等式。是给定生产投入品的前提下的最大可能产出点的集合。•不同的生产函数内含着不同的生产技术水平。4、常见的生产函数•（1）固定比例的生产函数（里昂惕夫函数）•产出Y是X1和X2的函数；产出量究竟是多少，取决于少的那一种生产要素的量。在日常生活中，我们叫做“短边规则”。图形如下图：1212(,)min,...(6.1)yfxxxx1()Qy2()Qy2x1xo里昂惕夫生产函数（2）线性生产函数•如•在这种情况下，增加一个单位的X1，同时减少一个单位的X2，就会正好相互抵消。这时，等产量线是一条直线。1212(,)()....(6.2)yfxxxx（3）柯布——道格拉斯函数11212121(,)...(6.3),,1,1(,)...(6.4)yfxxAxxxLxKAyfLKLK如果2()Qy1()Qy3()Qy2x1xC-D生产函数o5、生产技术的性质•（1）单调性。•单调性是指如果你在至少一种生产要素上增加了投入，那么，产出量应该至少等于你原先的生产量。•这一性质有时被称为自由处置，即企业可以无代价地处置任何投入品，拥有超额的投入品至少不会损害企业。•（2）凸性。这是指，如果你有两种方法（X1,X2),(Z1,Z2)去生产Y单位的产出，那么，上述两种方法的加权平均至少能生产出同样多的产出量。二、短期与长期•短期和长期的定义•短期和长期的相对性第二节短期生产函数与生产决策•一、短期生产函数•二、总产量、平均产量与边际产量的相互关系•1、定义•2、产出曲线•劳动投入各区间各产量的变化：0L4TPL递增↑；MPL↑；APL↑4L6TPL趋缓↑；MPL↓；APL↑6L9TPL趋缓↑；MPL↓；APL↓L9TPL↓；MPL0；APL↓•总产量和边际产量的关系MPL=dQ/dL•0L4TPL上凹（一阶导数0；二阶导数0）；MPL增加•L＝4TPL拐点；MPL极大•4L9TPL上凸（一阶导数0；二阶导数0）；MPL下降•L＝9TPL极大；MPL＝0•L9TPL下降（一阶导数0）；MPL0•总产量和平均产量的关系APL=Q/L•0L6TPL增加；APL增加•L＝6APL极大•L6TPL先增后降；APL下降•平均产量和边际产量的关系APL=Q/L；MPL=dQ/dL•0L6MPLAPL•L＝6MPL=APL；APL极大•L6MPLAPL2()()'()()[]'0()'()QfLLLfLLfLfLLLfLfLL平均产量等于边际产量的证明：三、边际报酬递减规律•1、含义•2、注意事项（前提条件）•（1）技术不变•（2）其它要素不变•（3）增加的要素达到一定程度（或者量）四、生产三阶段•1、三阶段的各自特点•2、厂商合理劳动投入阶段为第二阶段五、短期中劳动的最优投入量•短期内最优劳动投入量的含义，就是企业利润最大化。公式为：(,)...(6.10)(,)0...(6.11)(,)...(6.12)(,)...(6.13)LLpfLKwLrKdpdfLKwdLdLdfpLKwdLdfLKMPdLpMPw所以，在短期，决定劳动最优投入量的必要条件是即劳动的边际产量价值与劳动的价格相等。应用•例1：（最优劳动投入量）：已知某企业的生产函数为•(1)求该企业的平均产出函数和边际产出函数。•（2）如果企业现在使用了3个劳动力，试问是否合理？合理的劳动使用量应在什么范围内？•（3）如果该企业的产品的市场价格为3元，劳动力的市场价格为63元。那么，该企业的最优劳动投入量是多少？23219QLLL•解：（1）平均产出函数为：•(2)我们首先确定合理投入区间的左端点。令AP=MP,即•2221921183QAPLLLdQMPLLdL22222192118321183017174.57(21183)363060LLLLLLLLLLLwLLLLL解得L=0和L=4.5,其中L=0不合理,舍去.得L=4.5再定合理区域得的右端点。令MP=0,即＝得与L＝其中不合理，舍去。得这样合理区域为：目前的使用量L=3,所以是不合理的。（3）劳动投入最优的必要条件为：PMP得和L=其中不合理，舍去，得66所以使用个劳动力最优。第三节长期生产函数与要素组合比例•一、长期生产函数二、要素的边际技术替代率（MRTS）表示一种要素对于另一种要素的替代技术。它可以度量等产量线的斜率。121212112121112(,)()()0()fxxfxxxydxxyyxxdxdxxfxdxfx,...(6.18)LLKKMPdKfLMRTSdLfKMP三、最优要素比例的决定•可变成两类问题：•1、成本既定的前提下，追求产量最大的问题。•可写成方程式为：•其中，L为劳动力投入要素数量和K为资本投入数量，w为劳动力价格，即工资，r为资本价格，即利率。Co为总成本。,0max(,)....(6.21)..LKfLKstwLrKC•按照最优规划问题，构建拉格朗日方程：•0(,)()...(6.22)...(6.23)...(6.24)LKLKvfLKCwLrKfwLfrKMPwMPrMPwMPr解拉氏方程得：所以是企业决定最优要素比例的必要条件。•2、产量既定的前提下，追求成本最小的问题。•可写成方程式为：,00min....(6.25)..(,)((,))...(6.26)...(6.23)...(6.24)LKLKwLrKstfLKqVwLrKqfLKfwLfrKMPwMPr同样构建拉格朗日函数：同样可解得：所以，得到同样的结论：企业在决策最优时，所用劳动力的边际产量与资本的边际产量等于工资与利率之比。...(6.27)...(6.28)LKffLKwrMPMPwr所以，是单位要素价格在最优时所获得的边际产量。最优化的含义在于，在最优时，最后一单位货币投入不论其投在资本上，还是投在劳动力上，其对产量的贡献必须相等。应用•例2：如果生产函数为q=6KL,工资w=5,利率r=10，试求劳动L与资本K的最优比例。•解：6,65110212LKLKMPKMPLMPKMPLwrKL第四节生产扩张与规模报酬第四节生产扩张与规模报酬•一、生产经济区•脊线：它是生产要素合理配合比例的边缘线。在这两条脊线以内，等产量线的斜率为负，因此，我们把这两条脊线所围成的区域，叫生产的经济区。•脊线以外的区域叫生产不经济区域。含义和图形。二、产出弹性、生产力弹性与替代弹性•产出弹性是指在技术与投入品价格不变的条件下，若其它投入固定不变，仅一种投入变动时，产出的相对变动和投入的相对变动之比。劳动力的产出弹性与资本的产出弹性分别为:LLLMPdyydyLEdLLdLyAPKKKMPdyydyKEdKKdKyAP2、生产力弹性•生产力弹性是指,在技术和价格不变的条件下,所有要素都按照同一种比例变动时,产出的相对变动对投入要素的相对变动之比。•公式为：edyyEdxx•定理：eLKEEE(,)...(6.33)...(6.34)1111KLeKLQfKLffQQdQdKdLdKdLKLKLdKdLdXKLXdQXQdKQdLdXdXdXQKQLQXXQdKQdLdKdLKQLQKLQKQLKQLQEEEEE所以，3、替代弹性它用来度量等产线的曲率。要素比率变动对于技术替代率变动的反映强度，或单位技术变动率引起的要素比率变动。2121()dxxxxdTRSTRS()()()....(6.35)()()LKLLKKLKKdLMPKKdMPLLMPMPKddLMPMPMPMP应用•例4：三、规模报酬规模报酬是指：在技术水平和要素价格不变的条件下，当所有的投入要素都按同一比例变动时，产量变动的状况。规模报酬说明在生产规模在发生变化的过程中产出整体所发生的变化。分为三种情况。基本原因主要来自于企业内部的因素和企业外部因素使得产出变化。()()()dyyexd规模报酬的三种表达式：•1、生产函数表达式(,),(,)(,)(,)(,)(,)(,)QfKLftKtLtfKLftKtLtfKLftKtLtfKL设t1如，则称规模报酬递增；如，则称规模报酬递减；如＝，则称规模报酬不变。•2、生产力弹性表达式,1,1,1,eeeedQdXQEdXXXdQQEEE因设为要素变动率，为产出变动率。则，当即时，规模报酬递增；当即时，规模报酬递减；当即时，规模报酬不变。•3、等产量图表达式(见书）规模报酬图示四、扩张线（扩展线）生产扩张线即为等斜线五、要素价格变动引起的替代效应与产量效应•类似于消费者价格变动的替代效应和收入效应（见书）六、技术进步的测定•为了测定技术的进步，我们常设Q=A(t)f(L,K),其中A(t)是时间t的函数，表示随时间的推移，A(t)也变化，A(t)指科学技术对于生产的影响。()(,)lnln()ln(,)...(6.36)1()(,)..(6.37)()(,)()[](,)()(,)(,)()(,)11...(6.38)6.LKQAtfLKQAtfLKdAtdfLKdQQAtfLKffAtdLdKdfLKAtdfLKLKfLKAtfLKQQQdLdKQLQKQLQKEELQKQ由两边取对数得：两边取全微分得：把与代入（38(())...(6.39)()(())...(6.40)()LKLKdQdAtdLdKEEQAtLKdAtdQdLdKEEAtQLK）,重写（6.37）得可见，技术进步率可由产出增加率减去劳动增长率乘劳动产出弹性与资本增长率乘资本产出弹性来获得。第五节齐次生产函数与范围经济•一、齐次生产函数与欧拉定理【定义】齐次生产函数：如果生产函数满足下列性质1212(,)(,)kftxtxtfxx则称该生产函数为k次齐次生产函数（这里t是任何正实数，k为任一常数）。（6.14）（）1111222121211221212t1,k1,t1,k1,t1,k1,?  6.14t(,)(,)(,)t1(,)...(6.43) xxtxftxtxxftxtxktfxxxfxfkfxx显然，如则生产的规模报酬递增；若则生产规模报酬不变；若则生产规模报酬递减。（）式两边对求导，有如令会有此式是说，若要素投入量与分别与其边际产出量111212k,)ffffxxx与相乘，正好等于乘产出量f(x之积。（6.43）式通常称为欧拉定理。欧拉定理有若干应用：第一，齐次幂与产出弹性之间的关系。12121212,....(6.44)kxxQQKQxQx对（6.43)式两边除以f(x,x),因Q=f(x,x)就有这说明，如果生产函数是齐次生产函数，且是含两要素的生