高一数学下册第4章幂函数、指数函数和对数函数4.5反函数的概念课件沪教版

第四章幂函数、指数函数和对数函数4.5反函数的概念假如设v=2千米/小时,t表示时间,s表示位移.时间t(小时)位移s(千米)1234…位移s(千米)时间t(小时)2468…2468…1234…根据条件填图,并写出对应的关系式.ts2st21观察两式×2÷2匀速运动引例：观察这两个关系式发现：ts2①st21②在①中t是自变量,s是自变量t的函数.在②中s是自变量,t是自变量s的函数.除此之外,我们还可发现②的表达式可由①的表达式变换而得,即从①式中求出t即可.2.2stst这时我们就说是函数的反函数又例如,y2x6(x[0,1]),,.xyx又例如在函数中是自变量是的函数26([0,1])3([6,8])2yxxyxy由可以得到式子3([6,8])226([0,1]).yxyyxx这时我们就说是函数的反函数得到反函数的概念,[6,8]3[0,1]yx这样对于在中任何一个值,通过式子yx=，在中都有唯一的值与之对应2,([6,8]),.yyxy也就是说可以把作为自变量作为的函数一、反函数的概念一般地，对于函数(),(,)yfxxDyA若对于中任意一个值，都有中唯一的A0yD0x使得00()yfx，那么在上就确定了A()yfx的反函数，记作1(),xfyyA例(),yfxxD1(),xfyyA*2,yxxN的反函数就是,2yxy正偶数集函数与函数互为反函数！思考：函数的因变量与自变量3,yxxRyx的对应关系逆过来，能否构成函数？函数的因变量与自变量2,yxxRyx的对应关系逆过来，能否构成函数？反函数的存在性例1.判断下列函数是否存在反函数。(1)(2)(3)(4)3,0yxx21,yxxR42,yxxR,11xyxx(5)(6)xyOxyO存在不存在存在存在存在不存在二、一个函数存在反函数的判定记(),(,)yfxxDyA(1)对于任意，若,则12,xxD12xx12()()fxfx（或若，则）12()()fxfx12xx(2)函数是单调函数.(充分非必要条件)()yfx(3)函数的图像符合“水平线检验法”()yfx(4)由解得的也是一个函数.()yfx()xy上述所有方法都可说明函数()yfx()yfx存在反函数，即是“一对一”的.三、求一个函数的反函数例求函数的反函数.1,0yxx解：的值域为1,0yxx[1,)求得x1xy所以反函数为1,1xyy为了在同一坐标系内作出一个函数x表示，因变量用表示.y因此，反函数改写为1,1yxxxyO111,0yxx1,1yxx与其反函数的图像，习惯上自变量用例2.求下列函数的反函数.(1)42,yxxR(2)21,0yxx(3)22,0yxxx(4),11xyxx解:(1)yR24yx因此反函数为1,42xyxR[1,)y(2)解得：1xy解得：因此反函数为1,1yxx例2.求下列函数的反函数.(3)22,0yxxx(4),11xyxx解:(3)[0,)y2442yx因此反函数为11,0yxx(,1)(1,)y(4)解得：1yxy解得：因此反函数为,11xyxx11,11yxx解毕反函数的概念小结(),(,)yfxxDyA1(),xfyyA存在反函数的是一一对应的x与y函数与函数(),yfxxD互为反函数.充要条件是：求的反函数的一般步骤为：(),yfxxD①求值域(即反函数的定义域)②求方程的解③改写为反函数1()xfx()yfx1(),yfxxA(1)(2)(3)则对应法互逆，定义域、值域互反.例3：求函数211xy（1≤x0）的反函数.∵1≤x0∴21x211xy22yyx211xy22xxy解：∴0≤1∴0y≤1解得(∵1≤x0)由(1≤x0)的反函数是：(0x≤1)∴0x2≤1∴0≤1x21.1)x(0xxxxf)01(1)(1221(01)4.(10)xxyxx　　例求函数　　　的反函数.反函数的练习：211.()1,01,().fxxxfx（）已知：且，则其反函数1)x0(x-12（2）函数y=2|x|在下列哪个定义区间内不存在反函数？（）（A）[2，4]；（B）[-4，4]（C）[0，+∞)（D（-∞，0]B有时原函数和反函数是同一个函数单调函数必有反函数（3）已知，求2()1,2fxxx1(4)f解：1()1,3fxxx因此1(4)415f解法二：设1(4)fa因此()4fa即点在图像上(,4)a()fx即点在图像上(4,)a1()fx214,2aa解得5a解毕1()()fabfba（第2课时）课前练习:的反函数。、求函数)1x0(x-1f(x)1的反函数、求函数1)(xx1)x(01-2xf(x)2221(1]3()(116)(16)4[16)(16).xxfxxxxxf，、已知函数，，则＝例1.求函数y=3x-2的反函数,并画出原函数和反函数的图像.解∵y=3x-2∴函数y=3x-2(x∈R）的反函数为y=32x∴x=32y1-2-11-1-2xyy=3x-232xyxyx∈R（一）例题讲解反函数的图像.例2.求函数的反函数，并在同一坐标系中画出它们的图像.1yxOxy1解：1yx的值域为[0,)21xy1yx的反函数是21,0yxx1yx21,0yxx一、互为反函数的函数图像间的关系定理函数和它的反函数的图像()yfx1()yfx关于直线对称.yx证：设是的图像上任意一点.(,)Mab()yfx()fab因此1()yfx是的反函数()yfx1()fba因此即在反函数图像上.'(,)Mba1()yfxyx(,)Mab'(,)MbayxO一、互为反函数的函数图像间的关系定理函数和它的反函数的图像()yfx1()yfx关于直线对称.yxyx(,)Mab'(,)Mba()yfx1()yfxyxO续证：(,)Mab对称.图像上任意一点关于'(,)Mba1()yfxyx(,)Mab是上任意一点，()yfx()yfx直线的对称点都在的图像上.yx由于与互为反函数，故以上结论1()fx()fx反之也成立.与关于直线证毕(,)Pcc例2.求函数的反函数，并在同一坐标系中画出它们的图像.1yxOxy1解：1yx的值域为[0,)21xy1yx的反函数是21,0yxx思考函数的图像与其反函数的图像有什么有怎样的位置关系？平移有何规律？1yx21,0yxx例.求函数y=x3(x∈R)的反函数,并画出原来的函数和它的反函数的图象.解：33yxxy)(3Rxxy3xy3xyxyxy11原函数与y=x的交点个数？反函数与y=x的交点个数？原函数与反函数的交点个数及位置？例4.求证：函数的图像关于直线21()2xfxxyx对称.分析：由于存在反函数，且1()fxyx因此，即证1()()fxfx证：21(2,2)2xyxyx令221yxyx212yxy121()()2xfxfxx因此的图像关于直线对称.()fxyx与的图像关于对称，21()2xfxx()fx证毕若函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称，那么它存在反函数，且反函数是它本身。1()()fxaxbfxab若点(1,2)既在函数的图像上，又在函数的反函数的图像上，则=___,=___.52mxyxmyx已知函数的图像关于直线对称，求实数的值。练习二、单调函数的反函数的单调性(选用)例4.若函数是上的(),,yfxxDyAD单调函数，探究单调性.1(),yfxxAyx1x()yfx1()yfxyxO2x证明：不妨设是增函数()yfx1212,,xxAxx存在唯一的12,yyD使得：111122(),()fxyfxy1122(),()xfyxfy即12xx12()()fyfy12yy()fx是增函数1()fx是增函数1x2x1y2y1y2y定理单调函数的反函数也是单调函数且两个函数具有相同的单调性.yx()yfx1()yfxyxOyx()yfx1()yfxyxO二、单调函数的反函数的单调性但单调区间不一定相同反函数中的奇偶性问题一般地，偶函数不存在反函数。除了y=c，x{0}，c为常数。奇函数不一定存在反函数，若存在，反函数也是奇函数。如何证明？复合函数中反函数问题1111()(),()(),()2222(4)(4)xxxxffxfffxfx求，的反函数，的反函数111()(),()[()](),[()]()yfxyfxxDfxAffxxxAffxxxD与互为反函数,则有1[()][()]yfgxyfgx注：不是的反函数反函数结论总结()()fxfx单调有反函数()()fxfx是一对一的有反函数1212()=()()fxfxxxfx有，无反函数原、反函数的对应法互逆，定义域、值域互反.求反函数3步骤：定义域，反解，改写原、反函数图像关于直线y=x对称.(a,b)在原函数图像上，(b,a)在反函数图像上反函数结论总结（续）-1()=()()fxfxfxyx原、反函数相同，即为自反函数图像关于=对称原、反函数交点或在直线y=x上，或成对出现且关于直线y=x对称单调函数的反函数也是单调函数，且单调性一致，但单调区间不一定相同一般地，偶函数不存在反函数。除了y=c，x{0}，c为常数。奇函数不一定有反函数，若有则也是奇函数。内部文件，请勿外传内部文件，请勿外传反函数结论总结（续）22-1-1()=,()()()bcadbcadaxbaxbccfxfxdcxdccxcxxccadfxfddaax111()=,()1,01,()()bfxaxbfxxaaababRfxfx或原函数左移a个单位、则反函数下移a个单位1[()][()]yfgxyfgx不是的反函数