几何晶体学

1第二节几何晶体学2绿柱石晶体（祖母绿）刚玉晶体（红宝石）金刚石3•从外表特征描述，晶体天然具有规则几何外形的固体晶面：晶体的外表平面晶棱：两晶面相交直线角顶：晶棱汇聚的点•晶体的本质晶体内部质点的有序排列决定晶体的外表特征：规则的几何外形晶体内部质点不同排列方式决定晶体外表特征的差异。4晶体与非晶体：晶体是由原子（或离子、分子）在空间周期地排列构成的固体物质。晶体的共性：一切晶体，不论外形如何，其内部质点（原子、离子、离子团或分子）都是有规律排列的。从结构上，晶体具有三维空间的周期性，即长程有序；非晶体的结构只在几个原子范围内具有某种统计分布规律而在大范围内呈无规则排列，即为短程有序。晶体具有各向异性，而非晶体呈各向同性。1.晶体点阵1.1基本概念5空间点阵：从晶体结构中的抽象出来的，描述结构基元空间分布周期性的等同点集合成的几何图形称为晶体的空间点阵。结点：晶体格子中三个平面相交而成的点。点阵：每个节点在空间都有“等同环境”的点列。晶体结构：晶体中原子、离子或分子的构型单位晶胞：从结点上具有具体原子、分子或离子的最小晶体格子。空间点阵中的几何点称为阵点。6初基矢：以点阵中任一阵点为原点，作一组矢量a0、b0、c0，它们整数倍的线性组合能表达点阵中所有阵点的位置，称这些矢量为初基平移矢量。平移矢：任意两个阵点之间的矢量为平移矢，或阵矢。T=ma+nb+pc其中m，n，p为整数阵胞：以初基矢为棱边作平行六面体，称为点阵的初基阵胞。初基阵胞有多种取法，但每种取法最终阵胞体积都相同，且每个阵胞中只含一个阵点。复胞：以阵矢为棱边构成的平行六面体称为非初基阵胞（复杂阵胞），简称复胞。复胞中包含一个以上的阵点。1.2空间点阵的描述方法7点阵常数：确定点阵阵胞的三个棱边矢量a、b、c的模a、b、c及其间夹角、、称为点阵常数。8晶胞：是晶体结构中的最小重复单位。晶胞=空间点阵的阵胞＋结构基元实际材料中晶体（晶粒）的尺寸大约在105－106nm左右，而晶胞的尺寸在1nm以下，因此平移矢T=ma+nb+pc中的m，n，p在105－106数量级，晶体近似看成无限大，因为晶体的周期性，故只需取一个单胞来讨论问题。92.晶体的对称性（宏观）对称：晶体的对称性是指晶体中存在两个或两个以上的等同部分，通过一定的几何动作后能使它们周期性复原的性质。对称操作：上述几何动作。对称元素：在实施对称操作时所凭借的几何元素，即对称操作过程中不动的点、线、面等几何元素。2.1基本概念10a.反映：晶体表面或内部每一个点通过该物体中的一个平面反映，在平面的另一方同等距离处都能找到相同的的点，这种变换称为反映。对称元素：对称面，用m表示。如一个立方体中有9个对称面。2.2晶体宏观对称变换11b、旋转：晶体绕某一轴线旋转360的过程中，其中的每一点恢复原来状态数次，这种对称变换称为旋转。对称元素：旋转轴。由于晶体的周期性，旋转轴只有一次、二次、三次、四次、六次，分别用1、2、3、4、6表示。12c、反演：若通过晶体中心的任一直线上，离中心等距离处均能找到相应的等同点，则晶体具有对称中心，称此操作为反演。对称元素：反演中心113d、旋转–反演：晶体绕某一旋转轴每转动角后，必须再经反演晶体才能复原，称这种变换为旋转–反演。对称元素：反演轴，有－1，－2，－3，－4，－6，其中只有－4为新的独立对称元素。－1＝i，－2＝m，－3中必含有3次轴和i，－6中必含有3次轴和m。14所以，晶体中有1、2、3、4、6、m、i、-4共八种独立的宏观对称元素。153.布拉菲点阵（BravaisLattice）与晶系（CrystalSystem）3.1布拉菲点阵阵胞可以有各种不同的选取方式。只是为了表达空间点阵的周期性，则一般应选取体积最小的平行六面体作为阵胞（即简单阵胞），但为了使阵胞能同时反应出空间点阵的对称性，只选简单阵胞不能满足要求。如何选？阵胞选取原则：（1）所选阵胞要完全反应出空间点阵的最高对称性；（2）在满足（1）的基础上所选阵胞的平面角要尽可能等于直角；（3）在满足（1）、（2）的基础上所选阵胞的体积要尽可能小。根据上述三条原则选取的空间点阵阵胞只能有14种，称为14种布拉菲点阵。16173.2晶系划分晶系：按照晶胞的特征对称元素可以分成7个不同类型，称为晶系。晶系特征对称元素三斜无或反演中心单斜唯一的2次轴或镜面正交三个相互垂直的2次旋转轴或反轴。三方唯一的3次旋转轴或反轴。四方唯一的4次旋转轴或反轴。六方唯一的6次旋转轴或反轴。立方沿晶胞体对角线的四个3次旋转轴或反轴18不同晶系中的标准单胞选择规则晶系标准单胞选择变通单胞选择三斜晶轴间交角尽可能接近直角，但90。容许轴间交角=90单斜Y轴平行于唯一的二次轴或垂直于镜面，角尽可能接近直角。同标准选择，但Z轴代替Y轴，角代替角。正交晶轴选择平行于三个相互垂直的2次轴（或垂直于镜面）。无四方Z轴总是平行于唯一的4次旋转（反演）轴，X和Y轴相互垂直，并都与Z轴成直角。无六方/三方Z轴总是平行于唯一的3次或6次旋转（反演）轴，X和Y轴都垂直于Z轴，并相互间交角为120。在三方晶系，三次轴选为初基单胞的对角线，则a=b=c,==90。立方晶轴总选为平行于三个相互垂直的2次轴或4次轴，而四个三次轴平行于平行于立方晶胞的体对角线。无191.七种晶系单位阵胞分为四类。a.简单阵胞(P)，含有一个阵点，阵点坐标：(0,0,0)b.底心阵胞(C)，含有两个阵点，阵点坐标：(0,0,0)；(1/2,1/2,0)c.体心阵胞(I)，含有两个阵点，阵点坐标：(0,0,0)；(1/2,1/2,1/2)d.面心阵胞(F)，含有四个阵点，阵点坐标：(0,0,0)；(1/2,1/2,0)；(0,1/2,1/2)；(1/2,0,1/2)3.3Bravais阵胞的四种类型202.坐标系的选择：在晶体的点阵结构中，当根据Bravais三原则选取单位阵胞时，实际上就确定了描述该点阵结构的坐标系。单位阵胞的三棱边便是三个坐标轴（x,y,z），在晶体结构中又称晶轴。由于每一阵点都是环境相同的等同点，所以任一阵点均可作为原点。晶体学中规定右手规则坐标系，三棱边边长a,b,c是坐标轴的度量单位，而b与c、c与a、a与b的夹角为、、，在点阵中确定的单位阵胞与引入坐标是统一的。所以，坐标因点阵类型而异，在晶体点阵中按这种规定引入坐标系称为标准定向。213.4一些实际晶体的点阵类型将阵胞中的阵点换成结构基元——晶胞。晶胞与空间点阵的阵胞参数是相同的，只是晶胞中的质点数是阵胞中阵点数的整数倍。金属晶体的点阵类型主要是fcc、bcc和hp，其中fcc和bcc结构金属的原子与空间点阵的阵点重合。如Cu、Al、-Fe、W。密堆六方（hcp）金属的点阵属于简单点阵（hp）。如Mg、Zn。金刚石和NaCl属于fcc点阵，一个晶胞中含有8个C原子。有序结构Cu3Au和CsCl属于pc点阵。22在空间点阵中无论在哪个方向上都可以画出许多互相平行的阵点平面。同一方向上的阵点平面不仅互相平行，而且等距，各平面上的阵点分布情况也完全相同。但是不同方向上的阵点平面却具有不同的特征。所以说阵点平面之间的差别主要取决于它们的取向，而在同一方向上的阵点平面中确定某个平面的具体位置是没有实际意义的。4.晶面与晶向指数23同样，在空间点阵中无论在哪个方向都可以画出许多互相平行且等同周期的阵点直线，不同方向上阵点直线的差别也取决于它们的取向。空间点阵中的阵点平面和阵点直线相当于晶体结构中的晶面和晶向。在晶体学中阵点平面和阵点直线的空间取向分别用晶面指数和晶向指数来表示。4.1晶面指数（latticeplaneindex,or,Millerindex）求法：在一组相互平行的晶面中任选一个晶面，量出它在三个坐标轴上的截距（用点阵周期a、b、c为度量单位），ra、sb、tc，取1/r:1/s:1/t=h:k:l（三个互质的整数），记为(hkl)。晶面族：空间位向性质完全相同的晶面属于同族等同晶面，记为{hkl}。这些等同晶面族是通过晶体自身具有的对称性相联系的，它们的面间距和晶面上结点分布完全相同。24254.2晶向指数（latticedirectionindex）求法：在一族互相平行的阵点直线中选择过坐标原点的阵点直线，在其上任选一阵点，将其坐标值（x0,y0,z0）互质化成三个整数u,v,w，记为[uvw].晶向族：阵点密度相同的阵点直线属于等同晶向族，记为uvw。26274.3六方晶系四轴定向六方晶系的晶面和晶向若用三轴坐标系（a1,a2夹角位120°）确定指数的话，所得指数并不能显示出等同晶面和晶向的对称性。因此在晶体学上对六方晶系采用四轴定向的方法，称为密勒-布拉菲指数。四轴定向选取四个坐标轴，如图所示，其中a1,a2,a3在同一平面上，其间夹角为120°，c轴垂直于此平面。三轴晶面指数(hkl)与四轴晶面指数(hkil)存在如下关系：h+k=-i三轴晶向指数[uvw]与四轴晶向指数[UVTW]存在如下关系：U=(2u-v)/3；V=(2v-u)/3；T=-(U+V)=-(u+v)/3；W=w先求出三轴晶向或晶面指数，再换算成密勒-布拉菲指数。28294.4三方晶系按六方点阵表达如图所示，三方晶系可处理成六方形式的点阵单位。这样计算公式简化，而且现有的三方晶系资料大都按六方结构整理的。三方晶系按六方点阵表达式，一部分是简单六方hP，另一部分为包含三个阵点的复胞，三个阵点的坐标位置为：(0,0,0)；(2/3,1/3,1/3)；(1/3,2/3,2/3)，记为hR点阵（R表示菱面体，Rhombohedron）。三方晶系的这两种点阵形式P和R，在空间群记号中一直沿用着。在点阵的空间排布上，六方晶系的hP与三方晶系的hP是一样的，只能算作一种点阵形式，所以空间点阵还是只有14种。30R心六方单胞参数aH，cH和菱面体的单胞参数aR，R之间的关系如下：RRH12aacos=RRH213accos=或2H2HRca331a=3ac23ac2H2H2H2HR=)()(cos315.晶面面间距公式32求(hkl)面的法向[uvw]***clbkahcwbvau==lkhcbawvucba***=wvuGlkh分别用（abc）的转置左乘以上式两端，得记或=lkhGwvu1晶面法向与其倒易矢量平行，只考虑相对值时，可写成：33•利用倒易晶胞参数计算面间距和面夹角比直接用晶胞参数计算更方便。•如立方晶系公式如下：222lkhadhkl=222222212121112121lkhlkhllkkhh=cos晶面间距和晶面夹角计算公式