第2章-GARCH模型族

（file:JPYEN）第2章GARCH模型族1问题的提出2ARCH模型3GARCH模型4IGARCH(1,1)模型5TGARCH模型6ABSGARCH/ARCH模型7EGARCH模型8GARCH-M，ABSGARCH-M和EGARCH-M模型9PARCH模型10LM-GARCH模型11FIGARCH（分整GARCH）模型12FIEGARCH（分整EGARCH）模型13案例分析第2章GARCH模型族2.1问题的提出前面介绍的模型都是预测被解释变量的期望值，而ARCH，GARCH模型预测的是被解释变量的方差。ARCH模型在分析金融时间序列中有着广泛的应用。以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。但利率，汇率，股票价格指数的收益率等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。80100120140160200400600800100012001400JPY(1995-2000)-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY)(1995-2000)日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)2.1问题的提出这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY)(1995-2000)高峰厚尾分布曲线正态分布曲线2.1问题的提出描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测xt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测xt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。2.2ARCH模型2.2.1ARCH模型的定义若一个平稳随机变量xt可以表示为AR(p)形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后模型描述，xt=b0+b1xt-1+b2xt-2+…+bpxt-p+ut(2.1)st2=E(ut2)=a0+a1ut-12+a2ut-22+…+aqut-q2(2.2)则称ut服从q阶的ARCH过程，记作ut~ARCH(q)。其中(2.1)式称作均值方程，(2.2)式称作ARCH方程。2.2ARCH模型2.2.1ARCH模型的定义均值方程，xt=b0+b1xt-1+b2xt-2+…+bpxt-p+ut应满足如下条件。为保证平稳性，特征方程1-b1L-b2L2-…-bpLp=0的根应在单位圆之外。xt的条件期望是E(xt|xt-1,…,xt-p)=b0+b1xt-1+b2xt-2+…+bpxt-pxt的无条件期望（T时）是E(xt)=pbbb---L1012.2ARCH模型2.2.1ARCH模型的定义（1）ARCH方程，st2=E(ut2)=a0+a1ut-12+a2ut-22+…+aqut-q2应满足如下条件（ut2的非负性）：a00,ai0,i=1,2,…q当全部ai=0,i=1,2,…,q时，条件方差st2=a0。因为方差是非负的，所以要求a00。（2）为保证st2是一个平稳过程，ARCH方程的特征方程应满足1-a1L-a2L2-…-aqLq=0的根都应在单位圆之外。（3）对ai,i=1,2,…,q的另一个约束是0a1+a2+…+aq1。对ARCH方程求期望，st2=a0+a1E(ut-12)+a2E(ut-22)+…+aqE(ut-q2)=a0+a1st-12+a2st-22+…+aqst-q2当T时，s2=a0+a1s2+a2s2+…+aqs2。则无条件方差s2==-qii111aa0可见若保证st2是一个平稳过程，应该有约束0(a1+a2+…+aq)1。2.2ARCH模型2.2.2ARCH模型的极大似然估计ARCH模型经常应用在回归模型中。yt=xt'b+ut其中b=(b0b1,…,bk-1)',xt=(1，x1,…,xk-1)'（xt的分量也可以包括yt的滞后变量），ut~ARCH(q)。为计算方便，假定已知yt,xt的T+q组观测值，从而保证估计参数所用的样本容量为T。ut~ARCH(q)可以表示为ut=thvt其中vt~IID(0,1)，vt与xt相互独立，ht=a0+a1ut-12+a2ut-22+…+aqut-q2，所以有st2=E(ut2)=ht，E(ut)=0。yt服从正态分布，概率密度函数为f(yt|xt,ai,b)=thp21exp(-ttthy2)'(2bx-)其中ht=a0+a1(yt-1-xt-1'b)2+a2(yt-2-xt-2'b)2+…+aq(yt-q-xt-q'b)22.2ARCH模型2.2.2ARCH模型的极大似然估计用参数b和a=(a0a1a2…aq)'组成参数向量g=÷÷ab，模型yt=xt'b+utut=thvtht=a0+a1ut-12+a2ut-22+…+aqut-q2的对数似然函数是logL(g)==Tt1logf(yt|xt,g)=-2Tlog(2p)-=Tt1log21(ht)-=-Ttttthy12)'(21bx2ARCH模型2.2ARCH模型的极大似然估计求g的极大似然估计量就是求gˆ使logL(g)在g=gˆ处获得极大值。求logL(g)对g的偏导数，gg)(logL=-=Ttth1log21g-=Ttth11[21gb-2)'(ttyx-22)'(ttthybx-gth]=21=-Tttthh11(g-th1gb-2)'(ttyx+22tthugth)=21=Ttttthhu122(g-gtthh1-th1gb-2)'(ttyx)=21=-Ttttthhu122(gth-th1gb-2)'(ttyx)gg)(logL=21=-Ttttthhu122(gth-th1gb-2)'(ttyx)(9.13)其中gth=g=-qjjtju120)(aa=g0a+=-qjjtju12ga+=-qjjtju12ga=0010+-00021tu0+…+-200qtu0+=qjj1a0002j-tj-tux-=--=221q1jj12qttj-tj-tuuux-a(9.14)gb-2)'(ttyx=--abb22)'()'(ttttyyxxb=-0ttux2(9.15)把(9.14)和(9.15)式代入(9.13)式，gg)(logL=21=--=---Tttqttj-tj-tttthuuhhu1221q1jj2221120x-ttuxua在上式为零条件下求到的gˆ即是g的极大似然估计量。gˆ具有一致性。2ARCH模型2.2ARCH模型的极大似然估计（Engle（1982）提出）2.2ARCH模型2.2.3ARCH模型的检验（LM、FLR、和Q检验）方法1：ARCH的LM检验。①建立原假设H0：a1=a2=…=aq=0（不存在ARCH）H1：a1,a2,…,aq不全为零在原假设成立条件下，OLS估计量是一致的、有效的；在备择假设成立条件下，OLS估计量是一致的，但不是有效的。先介绍使用LM统计量检验H0。因为计算LM统计量的值，只需估计原假设成立条件下的方程。具体步骤是②估计yt=xt'b+ut，求tuˆ，计算tuˆ2。③估计辅助回归式tuˆ2=a0+a121ˆ-tu+a2tuˆ-22+…+aqtuˆ-q2+vt④用第3步得到的可决系数R2构成统计量LM=TR2。其中T表示辅助回归式的样本容量。在原假设成立条件下有LM=TR2~c2(q)若LMc2a(q)，接受H0。若LMc2a(q)，接受H1。注意：辅助回归式中要有常数项a0。2.2ARCH模型2.2.3ARCH模型的检验（LM、FLR、和Q检验）方法2：自回归条件异方差的F检验。①建立原假设H0：a1=a2=…=aq=0（不存在ARCH）H1：a1,a2,…,aq不全为零②估计yt=xt'b+ut，求tuˆ，计算tuˆ2。③用tuˆ2估计2个辅助回归式，并计算残差平方和SSEr、SSEu。tuˆ2=a0+vt（约束模型，同方差）tuˆ2=a0+a121ˆ-tu+a2tuˆ-22+…+aqtuˆ-q2+vt（非约束模型，存在ARCH）④用SSEr、SSEu构造F统计量，在原假设成立条件下有F=)1/(/)(---qTSSEqSSESSEuur~F(q,T-q-1)其中，SSEr、SSEu分别表示由约束、非约束模型得到的残差平方和。若FFa(q,T–q-1)，接受H0。若FFa(q,T–q-1)，接受H1。如果结论是应该建立ARCH模型，则进一步应该对ARCH模型的阶数q进行检验。对此可以采用t检验。方法3：自回归条件异方差的LR检验。①建立原假设H0：a1=a2=…=aq=0（不存在ARCH）H1：a1,a2,…,aq不全为零②估计yt=xt'b+ut，求tuˆ，计算tuˆ2。③用tuˆ2估计2个辅助回归式，并计算极大似然函数值logLr，logLu，tuˆ2=a0+vt（约束模型，同方差）tuˆ2=a0+a121ˆ-tu+a2tuˆ-22+…+aqtuˆ-q2+vt（非约束模型，存在ARCH）④用logLr和logLu构造LR统计量，在原假设成立条件下有LR=-2(logLr-logLu)~cm)其中logLr和logLu分别表示由（9.21）和（9.22）得到的极大似然函数值。若LRc2a(m)，接受H0。若LRc2a(m)，接受H1。如果结论是应该建立ARCH模型，则进一步应该对ARCH模型的阶数q进行检验。对此可以采用t检验。方法4：模型残差平方的Q检验。残差平方意味着方差，若存在自相关，说明存在自回归异方差。2.2ARCH模型2.2.4检验是否存在ARCH效应的EViews操作（案例日元对美元汇率的建模研究）1995.1-2000.8日元兑美元汇率值（1427个）序列（JPY）见图。极小值为81.12日元，极大值为147.14日元。其均值为112.93日元，标准差是13.3日元。1995年4月曾一度达到81.12日元兑1美元。1998年8月达到147.14日元兑1美元。JPY显然是一个非平稳序列。JPY的差分序列D(JPY)表示收益。因为D(JPY)是平稳序列，用D(JPY)建立时间序列模型。80100120140160200400600800100012001400JPY(1995-2000)-8-6-4-20246200400600800100012001400D(JPY)(1995-2000)图9.1日元兑美元汇率（JPY）时间序列图9.2DJPY时间序列JPY的相关图与偏相关图D(JPY)的相关图与偏相关图案例：日元对美元汇率的建模研究（file:JPYEN）通过相关图与偏相关图分析，应该建立一个AR(3)或MA(3)模型。建立AR(3)模型如下。DJPYt=0.0541DJPYt-2-0.0859DJPYt-3+tuˆ(2.0)(-3.3)R2=0.01,DW=1.91,Q(15)=8.6模型满足建