高中数学必修2圆与方程典型例题

第1页共4页第二节：圆与圆的方程典型例题一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。二、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内（2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。例1已知方程2222(1)2(23)51060xymxmymm.（1）此方程表示的图形是否一定是一个圆？请说明理由；（2）若方程表示的图形是是一个圆，当m变化时，它的圆心和半径有什么规律？请说明理由.答案：(1)方程表示的图形是一个圆；（2）圆心在直线y=2x+5上，半径为2.练习：1．方程222460xyxy表示的图形是（）Ａ．以(12)，为圆心，11为半径的圆Ｂ．以(12)，为圆心，11为半径的圆Ｃ．以(12)，为圆心，11为半径的圆Ｄ．以(12)，为圆心，11为半径的圆2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()．A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝43．点(11)，在圆22()()4xaya的内部，则a的取值范围是（）Ａ．11aＢ．01aＣ．1a或1aＤ．1a4．若22(1)20xyxy表示圆，则的取值范围是5．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为.6．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为．7．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是．第2页共4页8．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．9．求经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．10．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．三、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2例２已知圆22:(2)1Mxy,Q是x轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A，B两点(1)若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程；(答：切线QA、QB的方程分别为0343yx和1x)(2)求四边形QAMB的面积的最小值；（答2222113MAQBSMAQAQAMQMAMQMO）(3)若423AB，求直线MQ的方程.（答：直线MQ的方程为05252yx或05252yx）练习：1．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()．A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9D．(x＋3)2＋(y－4)2＝192．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()．A．0或2B．2C．2D．无解３.直线l过点），（02，l与圆xyx222有两个交点时，斜率k的取值范围是()A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆），（2222B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆），（22C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆），（4242D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆），（8181４．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程是．５．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝20在x轴上截得的弦长是。６．P为圆122yx上的动点，则点P到直线01043yx的距离的最小值为_______新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆７．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．８．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为．９．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．12．（本小题15分）已知圆C：2219xy内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两第3页共4页点．(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3)当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长．13（本小题15分）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．四、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点例4已知圆:C22(2)4xy，相互垂直的两条直线1l、2l都过点(,0)Aa.（Ⅰ）若1l、2l都和圆C相切，求直线1l、2l的方程；（Ⅱ）当2a时，若圆心为(1,)Mm的圆和圆C外切且与直线1l、2l都相切，求圆M的方程；（Ⅲ）当1a时，求1l、2l被圆C所截得弦长之和的最大值.答案：（１）1l、2l的方程分别为222:1xyl与222:2xyl或222:1xyl与222:2xyl（２）圆M的方程为4)7()1(22yx（３）即1l、2l被圆C所截得弦长之和的最大值为1421．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离2．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是()．A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝03．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的公切线有且仅有()．A．4条B．3条C．2条D．1条14．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，试确定常数a的值．6．两圆229xy和228690xyxy的位置关系是（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆相离B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆相交C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆内切D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆外切7．圆：06422yxyx和圆：0622xyx交于,AB两点，则AB的垂直平分线的方程是8．两圆221xy和22(4)()25xya相切，则实数a的值为第4页共4页五、求圆的轨迹方程1、点P00(,)xy是圆224xy上的动点，点M为OP（O为原点）中点，求动点M的轨迹方程。2、已知两定点A(-2,0)、B(1,0)，若动点P满足｜PA｜=2｜PB｜，则点P轨迹方程所包围的图形面积等于3、等腰三角形ABC底边一个端点B(1,-3)，顶点A(0,6)，求另一个端点C的轨迹方程。4、已知BC是圆2225xy的动弦，且｜BC｜＝６，求BC中点轨迹方程。5、已知点M与两个定点O（0，0），A(3，0)的距离的比为12，求点M的轨迹方程。