数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。一.公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。1、等差数列公式例1、（2011辽宁理）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列{an}的通项公式；解：（I）设等差数列{}na的公差为d，由已知条件可得110,21210,adad解得11,1.ad故数列{}na的通项公式为2.nan2、等比数列公式例2.（2011重庆理）设{}na是公比为正数的等比数列，12a，324aa。（Ⅰ）求{}na的通项公式解：I）设q为等比数列{}na的公比，则由21322,4224aaaqq得，即220qq，解得21qq或（舍去），因此2.q所以{}na的通项为1*222().nnnanN3、通用公式若已知数列的前n项和nS的表达式，求数列na的通项na可用公式211nSSnSannnn求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。例3、已知数列}{na的前n项和12nsn，求}{na的通项公式。解：011sa，当2n时12]1)1[()1(221nnnssannn由于1a不适合于此等式。∴)2(12)1(0nnnan二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：na和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法一般地，对于型如)(1nfaann类的通项公式，且)()2()1(nfff的和比较好求，我们可以采用此方法来求na。即：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n；例4、（2011四川理8）数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaanN．若则32b，1012b，则8aA．0B．3C．8D．11解：由已知知128,28,nnnbnaan由叠加法21328781()()()642024603aaaaaaaa例5、已知数列na满足11211,2nnaaann，求数列na的通项公式。解：（1）由题知：121111(1)1nnaannnnnn112211()())nnnnnaaaaa+(a-aa……1111111()()()121122nnnn……312n2、叠乘法一般地对于形如“已知a1，且n1naa=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n；例6、在数列｛na｝中，1a=1,(n+1)·1na=n·na，求na的表达式。解：由(n+1)·1na=n·na得11nnaann，1aan=12aa·23aa·34aa…1nnaa=nnn11433221所以nan13、构造法当数列前一项和后一项即na和an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。（1）、待定系数法①、一般地对于an=kan-1+m(k、m为常数）型，可化为的形式an+λ=k(an-1+λ).重新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求na。例7、（2011广东理）设b0,数列na满足a1=b，11(2)22nnnnbaanan.（1）求数列na的通项公式；解：112(1)nnnabanan，得1112(1)121nnnnannnababba，设nnnba，则121nnbbbb(2)n，（ⅰ）当2b时，nb是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222nbnn，∴2na（ⅱ）当2b时，设12()nnbbb，则122(1)nnbbbb，令21(1)bb，得12b，1121()22nnbbbbb(2)n，知12nbb是等比数列，11112()()22nnbbbbb，又11bb，12112()222nnnnnbbbbbbb，(2)2nnnnnbbab．②、对于1()(nnapafn其中p为常数)这种形式,一般我们讨论两种情况：i、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为CBnAaann1型，可化为])1([21211naAnann的形式来求通项。例8.设数列na中，111,321nnaaan，求na的通项公式。解：设1(1)3()nnaAnBaAnB1322nnaaAnBA与原式比较系数得：221211AABAB即1(1)13(1)nnanan令1,nnbann+1n11则b=3b且b=a+1+1=3nb1是b=3为首项，公比q=3的等比数列133331nnnnnban即:ii、当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为BAaann1nC（A、B、C为常数，）型，可化为11nnCa=nnCaA(）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求na例9.（2003年全国高考题）设0a为常数，且1123nnnaa（*Nn），证明：对任意n≥1，02)1(]2)1(3[51aannnnn解：证明：设)3(2311nnnntata用1123nnnaa代入可得51t∴53nna是公比为2，首项为531a的等比数列，∴10)2()5321(53nnnaa（*Nn），即：012)1(52)1(3aannnnnn当然对于BAaann1nC这种形式递推关系求na时，当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn+1,重新构造数列，来求na。例10、（2007天津理）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．（Ⅰ）求数列na的通项公式；解：由11(2)2()nnnnaanN，0，可得111221nnnnnnaa，所以2nnna为等差数列，其公差为1，首项为0，故21nnnan，所以数列na的通项公式为(1)2nnnan．（2）、倒数法一般地形如11nnnaakab、nnnnaaaa11等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。例11.已知数列na满足：1111,31nnnaaaa，求na的通项公式。解：原式两边取倒数得：11113113nnnnaaaa1,1nannn-11设b=则b-b=3,且b=13nb1是b=为首项，公差d=2的等差数列1(1)332bnnn即132nan例12、（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）在数列{na}中，311a，并且对任意2,nNn都有nnnnaaaa11成立，令)(1Nnabnn．（Ⅰ）求数列{nb}的通项公式；解：（1）当n=1时，3111ab,当2n时，由nnnnaaaa11，等式两边取倒数得：,1111nnaa所以11nnbb所以数列}{nb是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列}{nb的通项公式为2nbn（3）、对数法当数列na和an-1的递推关系涉及到高次时，形如：anp=man-1q（其中m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。例13、（2006山东）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；解：（1）由已知212nnnaaa，211(1)nnaa12a11na，两边取对数得1lg(1)2lg(1)nnaa，即1lg(1)2lg(1)nnaa{lg(1)}na是公比为2的等比数列.例14、若数列{na}中，1a=3且21nnaa（n是正整数），则它的通项公式是na=▁▁▁（2002年上海高考题）.解由题意知na＞0，将21nnaa两边取对数得nnaalg2lg1，即2lglg1nnaa，所以数列}{lgna是以1lga=3lg为首项，公比为2的等比数列，12113lg2lglgnnnaa，即123nna.（4）、特征方程法①、一般地对于形如已知1122,,amaman+2=Aan+1+Ban(A、B是常数）的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。法一：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程（i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q时，有：12nnnacpcq，其中c1与c2由已知1122,,amam确定。（ii）当方程有唯一的实根p时，有12()nnacncp，其中c1与c2由已知1122,,amam确定。法二：可构造成)(112112nnnnaxaxaxa，则{11nnaxa}为等比数列，进而求通项公式，这种方法过程较为繁杂。例15、已知a1=2，a2=3，nnnaaa122，求通项公式。解法一：特征方程的根为1，所以an=(c1n+c2)×1n由：1212223cccc得c1=c2=1，所以an=n+1。解法二：设)(112112nnnnaxaxaxa，可得x1=x2=1，于是{an+1－an}是公比为1的等比数列，an+1－an=1，所以an=n+1。例16．已知数列{}na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na。解：其特征方程为232xx，解得121,2xx，令1212nnnacc，由1122122243accacc，得12112cc，112nna．例17、（2009陕西卷文）已知数列}na满足，*11212,,2nnnaaaaanN’＋2＝＝.令1nnnbaa，证明：{}nb是等比数列；(Ⅱ)求}na的通项公式。解：（1）证明：1211,baa当2n时，1111,11()222nnnnnnnnnaabaaaaab所以nb是以1为首项，12为公比的等比数列。（2）解由（1）知111(),2nnnnbaa当2n时，121321()()()nnnaaaaaaaa21111()()22n111()2111()2n2211[