第一章+解三角形测试题(含详解)

必修五第一章解三角形测试卷姓名：一、选择题1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形答案C2．在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，那么A，B，C的大小关系为()A．ABCB．BACC．CBAD．CAB解析由正弦定理asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝32.∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故CBA.答案C3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．42B．43C．46D.323解析A＝45°，由正弦定理，得b＝asinBsinA答案C4．在△ABC中，A＝60°，a＝3，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC等于()A.833B.2393C.2633D．23解析利用正弦定理及比例性质，得a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA＝3sin60°＝332＝23.答案D5．若三角形三边长之比是1:3:2，则其所对角之比是()A．1:2:3B．1:3:2C．1:2:3D.2:3:2解析设三边长分别为a，3a,2a，设最大角为A，则cosA＝a2＋3a2－2a22·a·3a＝0，∴A＝90°.设最小角为B，则cosB＝2a2＋3a2－a22·2a·3a＝32，∴B＝30°，∴C＝60°.因此三角之比为1:2:3.答案A6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．一解C．两解D．解的个数不确定解析由bsinB＝asinA，得sinB＝bsinAa＝9×226＝3241.∴此三角形无解．答案A7．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析根据正弦定理，原式可化为2Ra24R2－c24R2＝(2a－b)·b2R，∴a2－c2＝(2a－b)b，∴a2＋b2－c2＝2ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，∴C＝45°.答案B8．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为()A．1B．2C.2D.3解析由asinA＝bsinB＝csinC＝2R，又sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，可得a2＋b2－ab＝c2∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，∴C＝60°，sinC＝32.∴S△ABC＝12absinC＝3.答案D9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为()A.85B.58C.53D.35解析由余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC，解得AC＝3.由正弦定理sinBsinC＝ACAB＝35.答案D10．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为()A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC＝2π3.答案A11．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长()A．0.5kmB．1kmC．1.5kmD.32km解析如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，BC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝ACtan10°＝2cos210°，∴DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.答案B12．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b为()A．2B．4＋23C．4－23D.6－2解析在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵a＝c，∴0＝b2－2bccosA＝b2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22(32－12)＝14(6－2)，∴b2－2b(6＋2)cos75°＝b2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b2－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(舍去)．故选A.答案A二、填空题13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定理，知c＝bsinCsinB＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案4(3－1)14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.解析由B＝A＋60°，得sinB＝sin(A＋60°)＝12sinA＋32cosA.又由b＝2a，知sinB＝2sinA.∴2sinA＝12sinA＋32cosA即32sinA＝32cosA.∵cosA≠0，∴tanA＝33.∵0°A180°，∴A＝30°.答案30°15．在△ABC中，A＋C＝2B，BC＝5，且△ABC的面积为103，则B＝________，AB＝________.解析由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°，得B＝60°.又S＝12AB·BC·sinB∴103＝12AB×5×sin60°，∴AB＝8.答案60°816．在△ABC中，已知(b＋c):(c＋a):(a＋b)＝8:9:10，则sinA:sinB:sinC＝________.解析设b＋c＝8k，c＋a＝9k，a＋b＝10k，可得a:b:c＝11:9:7.∴sinA:sinB:sinC＝11:9:7.答案11:9:7三、解答题17．(10分)在△ABC中，若a2b2＝sinAcosBcosAsinB，判断△ABC的形状．解依据正弦定理，得a2b2＝ab·cosBcosA，所以acosA＝bcosB.再由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，因为2A,2B∈(0,2π)，故2A＝2B，或2A＋2B＝π.从而A＝B，或A＋B＝π2，即△ABC为等腰三角形，或直角三角形．18．(12分)锐角三角形ABC中，边a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，角A，B满足2sin(A＋B)－3＝0.求：(1)角C的度数；(2)边c的长度及△ABC的面积．解(1)由2sin(A＋B)－3＝0，得sin(A＋B)＝32.∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＝120°，∴∠C＝60°.(2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两个根，∴a＋b＝23，ab＝2.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6.∴c＝6.S△ABC＝12absinC＝12×2×32＝32.19．(12分)如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．分析(1)要求AD的长，在△ABD中，AB＝126，B＝45°，可由正弦定理求解；(2)要求CD的长，在△ACD中，可由余弦定理求解．解(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝126，由正弦定理，得AD＝ABsinBsin∠ADB＝126×2232＝24(nmile)．(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.解得CD＝83(nmile)．∴A处与D处的距离为24nmile，灯塔C与D处的距离为83nmile.20．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．解(1)∵cosA2＝255，∴cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.又由AB→·AC→＝3，得bccosA＝3，∴bc＝5.因此S△ABC＝12bcsinA＝2.(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，∴b＝5，c＝1，或b＝1，c＝5.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20.∴a＝25.21．(12分)在△ABC中，已知内角A＝π3，边BC＝23，设内角B＝x，周长为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值．解(1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝π3，B0，C0，得0B2π3.应用正弦定理，得AC＝BCsinA·sinB＝23sinπ3·sinx＝4sinx.AB＝BCsinAsinC＝4sin2π3－x.∵y＝AB＋BC＋CA，∴y＝4sinx＋4sin2π3－x＋230x2π3.(2)y＝4(sinx＋32cosx＋12sinx)＋23＝43sin(x＋π6)＋23.∵π6x＋π65π6，∴当x＋π6＝π2，即x＝π3时，y取得最大值63.22．(12分)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.解(1)因为tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，即sinCcosC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.又因为sin(B－A)＝cosC＝12，则B－A＝π6，或B－A＝5π6(舍去)．得A＝π4，B＝5π12.所以A＝π4，C＝π3.(2)S△ABC＝12acsinB＝6＋28ac＝3＋3，又asinA＝csinC，即a22＝c32.得a＝22，c＝23.