全国名校高中数学题库--圆锥曲线

1圆锥曲线专题复习解析几何中常见的几类问题::::1111定值((((恒过一定点,,,,面积为定值,,,,斜率不变等););););该类问题如果能与平面几何联系起来可能较为简单,,,,否则运算较为复杂,,,,对学生的运算能力要求较高,(,(,(,(计算过程中始终含有参数).).).).1已知椭圆的中心为坐标原点OOOO，椭圆短半轴长为1111，动点(2,)Mt(0)t在直线2(axac=为长半轴，c为半焦距）上。（1111）求椭圆的标准方程（2222）求以OMOMOMOM为直径且被直线3450xy−−=截得的弦长为2222的圆的方程；（3333）设FFFF是椭圆的右焦点，过点FFFF作OMOMOMOM的垂线与以OMOMOMOM为直径的圆交于点NNNN，求证：线段ONONONON的长为定值，并求出这个定值。（1）又由点M在2(axac=为长半轴，c为半焦距）上，得22ac=故212cc+=，1c∴=从而2a=……………2分所以椭圆方程为2212xy+=或2212yx+=……………4分（2）以OM为直径的圆的方程为(2)()0xxyyt−+−=即222(1)()124ttxy−+−=+其圆心为(1,)2t,半径214tr=+……………6分因为以OM为直径的圆被直线3450xy−−=截得的弦长为2所以圆心到直线3450xy−−=的距离21dr=−2t=……………8分所以32552tt−−=，解得4t=2所求圆的方程为22(1)(2)5xy−+−=……………10分（3）方法一：由平几知：2ONOKOM=直线OM：2tyx=，直线FN：2(1)yxt=−−……………12分由22(1)tyxyxt⎧=⎪⎪⎨⎪=−−⎪⎩得244Kxt=+22222(1)(1)444(1)2244KMttONxxtt∴=+•+=+••=+所以线段ON的长为定值2。……………14分方法二、设00(,)Nxy，则000000(1,),(2,)(2,),(,)FNxyOMtMNxytONxy=−==−−=������������������0000,2(1)0,22FNOMxtyxty⊥∴−+=∴+=���������∵……………12分又2200000000,(2)()0,22MNONxxyytxyxty⊥∴−+−=∴+=+=���������∵所以，22002ONxy=+=����为定值……………14分2椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点⎟⎠⎞⎜⎝⎛23,1P且离心率为21．（1111）求椭圆CCCC的标准方程；（2222）若直线mkxyl+=:与椭圆C相交BBBBAAAA,,,,两点（BBBBAAAA,,,,不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：（1）椭圆的标准方程为11113333444422222222====++++yyyyxxxx（2）设(((())))(((())))2222222211111111,,,,,,,,,,,,yyyyxxxxBBBByyyyxxxxAAAA，⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧====++++++++====11113333444422222222yyyyxxxxmmmmkxkxkxkxyyyy得:(((())))(((())))000033334444888822224444333322222222====−−−−++++++++++++mmmmkmxkmxkmxkmxxxxxkkkk000044443333,,,,000022222222−−−−++++∴∴∴∴∆∆∆∆mmmmkkkk∵，,3(((())))22222222222211112222222211114444333333334444,,,,444433338888kkkkmmmmxxxxxxxxkkkkmkmkmkmkxxxxxxxx++++−−−−====++++−−−−====++++(((())))222222222222222211114444333344443333kkkkkkkkmmmmyyyyyyyy++++−−−−====∴∴∴∴∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，1111−−−−====⋅⋅⋅⋅∴∴∴∴BDBDBDBDADADADADkkkkkkkk，(((())))000044442222222211112222111122221111====++++++++−−−−++++∴∴∴∴xxxxxxxxxxxxxxxxyyyyyyyy，0000444416161616777722222222====++++++++∴∴∴∴kkkkmkmkmkmkmmmmkkkkmmmm22221111−−−−====∴∴∴∴，777722222222−−−−====mmmm，且均满足00004444333322222222−−−−++++mmmmkkkk，当kkkkmmmm22221111−−−−====时，llll的方程为(((())))2222−−−−====xxxxkkkkyyyy，则直线过定点(((())))0000,,,,2222与已知矛盾当kkkkmmmm777722221111−−−−====时，llll的方程为⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛−−−−====77772222xxxxkkkkyyyy，则直线过定点⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛0000,,,,77772222∴∴∴∴直线llll过定点，定点坐标为⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛0000,,,,777722223已知点00(,)Pxy是椭圆22:12xEy+=上任意一点001xy≠，直线l的方程为0012xxyy+=（IIII）判断直线l与椭圆EEEE交点的个数；（IIIIIIII）直线0l过PPPP点与直线l垂直，点MMMM（-1-1-1-1，0000）关于直线0l的对称点为NNNN，直线PPPPNNNN恒过一定点GGGG，求点GGGG的坐标。解：（1）由22001212xyxxyy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y并整理得222200002104xyxxxy+−+−=……2分220012xy+=∵，220022xy−∴=220020xxxx∴−+=…………4分2200440xx∴∆=−=故直线l与椭圆E只有一个交点…………5分（2）直线0l的方程为0000()2()xyyyxx−=−即000020yxxyxy−−=………………6分设)0,1(−M关于直线0l的对称点N的坐标为(,)Nmn4则0000001212022xnmyxnmyxy⎧=−⎪+⎪⎨−⎪⋅−−=⎪⎩解得320002043200002002344424482(4)xxxmxxxxxnyx⎧+−−=⎪−⎪⎨+−−⎪=⎪−⎩……8分∴直线PN的斜率为4320000032000042882(34)nyxxxxkmxyxx−++−−==−−−+从而直线PN的方程为432000000320004288()2(34)xxxxyyxxyxx++−−−=−−−+即3200043200002(34)14288yxxxyxxxx−−+=+++−−从而直线PN恒过定点(1,0)G…………12分4444已知椭圆22221(0)xyabab+=的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF−，点P在椭圆上，且满足12122,30PFPFPFF=∠=�，直线ykxm=+与圆2265xy+=相切，与椭圆相交于,AB两点．（IIII）求椭圆的方程；（IIIIIIII）证明AOB∠为定值（O为坐标原点）．解：（I）由题意，1212122,30,2PFPFPFFFF=∠==�，解三角形得124323PFPF==，由椭圆定义得12223aPFPF=+=，从而3,a=又1c=，则2b=，所以椭圆的方程为22132xy+=（6分）（II）设交点1122(,),(,)AxyBxy，联立22132ykxmxy=++=⎧⎪⎨⎪⎩消去y得222(23)6360kxkmxm+++−=由韦达定理得2121222636,2323kmmxxxxkk−−+==++i（9分）又直线ykxm=+与圆2265xy+=相切，5OMNF2F1yx（第18题）则有222656651mmkk=⇒=++（11分）从而22121212121212()()(1)()xxyyxxkxmkxmkxxkmxxm+=+++=++++222222222366(566)(1)0232323mkmmmkkkmmkkk−−−−=+++==+++（14分）所以0OAOB=��������i，即90AOB∠=�为定值．（15分）5555如图，椭圆22221xyab+=(0)ab过点3(1,)2P，其左、右焦点分别为12,FF，离心率12e=，,MN是椭圆右准线上的两个动点，且120FMFN⋅=����������．（1111）求椭圆的方程；（2222）求MN的最小值；（3333）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．解：（1）∵12cea==，且过点3(1,)2P，22222191,42,,abacabc⎧+=⎪⎪∴=⎨⎪=+⎪⎩解得2,3,ab=⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22143xy+=。(2)设点12(4,),(4,)MyNy则1122(5,),(3,),FMyFNy==����������1212150FMFNyy⋅=+=����������，1215yy∴=−，又211111151515MNyyyyyy=−=−=∵－+≥2，MN∴的最小值为215．(3)圆心C的坐标为12(4,)2yy+，半径212yyr−=.圆C的方程为2221221()(4)()24yyyyxy+−−+−=，整理得：2212128()160xyxyyyyy+−−+++=.1215yy=−∵，22128()10xyxyyy∴+−−++=6令0y=，得2810xx−+=，415x∴=±.∴圆C过定点(415,0)±.…6666在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922=+yx的左、右顶点为AAAA、BBBB，右焦点为FFFF。设过点TTTT（mt,）的直线TATATATA、TBTBTBTB与椭圆分别交于点MMMM),(11yx、),(22yxN，其中m0,m0,m0,m0,0,021yy。（1111）设动点PPPP满足422=−PBPF,,,,求点PPPP的轨迹；（2222）设31,221==xx，求点TTTT的坐标；（3333）设9=t,,,,求证：直线MNMNMNMN必过xxxx轴上的一定点（其坐标与mmmm无关）。[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由422=−PBPF，得2222(2)[(3)]4,xyxy−+−−+=化简得92x=。故所求点P的轨迹为直线92x=。（2）将31,221==xx分别代入椭圆方程，以及0,021yy得：M（2，53）、N（13，209−）直线MTA方程为：0352303yx−+=+−，即113yx=+，直线NTB方程为：032010393yx−−=−−−，即5562yx=−。联立方程组，解得：7103xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点T的坐标为10(7,)3。（3）点T的坐标为(9,)m7直线MTA方程为：03093yxm−+=−+，即(3)12myx=+，直线NTB方程为：03093yxm−−=−−，即(3)6myx=−。分别与椭圆15922=+yx联立方程组，同时考虑到123,3xx≠−≠，解得：2223(80)40(,)8080mmMmm−++、2223(20)20(,)2020mmNmm−−++。（方法一）当12xx≠时，直线MN方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020mmyxmmmmmm