不定积分典型例题讲解

目录上页下页返回结束习题课一、求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法第四章目录上页下页返回结束一、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法第一类换元法第二类换元法注意常见的换元积分类型,如掌握P205～P206公式(16)~(24)的推导方法(代换:))(tx目录上页下页返回结束3.分部积分法vuxvud使用原则:1)由v易求出v;2)比xvud好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为.v计算格式:列表计算xvud目录上页下页返回结束xvund)1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvuxvund)1()2()1()(nnnvuvuvuxvunnd)1()1(1多次分部积分的规律)2()1()(nnnvuvuvuxvund)2(快速计算表格:)(ku)1(knvuuu)(nu)1(nv)(nv)1(nvvn)1()1(nuv1)1(n特别:当u为n次多项式时,,0)1(nu计算大为简便.目录上页下页返回结束例1.求解:原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32目录上页下页返回结束例2.求解:21]5)1ln([2xx原式]5)1ln([d2xx21xxxxxd)1(212221dxx325)1ln(2xxC23分析:]5)1ln([d2xx目录上页下页返回结束例3.求解:原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部积分目录上页下页返回结束例4.设解:令,tyx求积分即txy,123ttx,12tty而ttttxd)1()3(d22221原式ttttd)1()3(2222123tt132ttCyx1)(ln221目录上页下页返回结束例5.求解:xearctan原式xedxxearctanexexxxde1e2xxearctanexxxxde1e)e1(222xxearctanexCx)e1(ln221目录上页下页返回结束例6.求解:取23xx132xx660x2ex221ex241ex281ex2161ex2e原式)2(321xx)13(241xx681Cxxxx)7264(e232816161CxxaxaxPxkndcossine)(说明:此法特别适用于如下类型的积分:目录上页下页返回结束例7.证明递推公式证:xxxInnd)1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注:或目录上页下页返回结束例8.求解:设1)(xxF1x,1x1x,1x则1,1221xCxx1,2221xCxx因连续,得21211121CC221121CC记作C得1,21221xCxx1,21221xCxx,)1(221Cx,)1(221Cx利用目录上页下页返回结束例9.设解:为的原函数,且求由题设,)()(xfxF则故即,因此故又目录上页下页返回结束二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换目录上页下页返回结束2.需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如,,)10(dsin122kxxk目录上页下页返回结束例10.求.eee1d632xxxx解:令,e6xt则,ln6txtxtdd6原式ttttt)1(d623tttt)1)(1(d62tdtln61ln3t)1ln(232tCtarctan3目录上页下页返回结束例11.求解:令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3BA1BA,故2,1BA∴原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln2说明:此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA目录上页下页返回结束例12.解：xxbxaxIdsincossin1求因为.dsincoscos2xxbxaxI及xxbxaxbxadsincossincosxxbxaxaxbdsincossincos目录上页下页返回结束例13.求不定积分解:原式)1)(2(12uuuA21uB1uC目录上页下页返回结束例14.π)()sin()sin(dkbabxaxxI求xbxaxd)sin()sin()]()sin[(bxax)sin(1baxbxaxbad)sin()sin()sin(1)sin(ax)cos(bx)cos(ax)sin(bx)sin(1baxbxbxd)sin()cos(xaxaxd)sin()cos(Caxbxba)sin(ln)sin(ln)sin(1Caxbxba)sin()sin(ln)sin(1解:I=目录上页下页返回结束例15.求解:nbxaxbxaxxI)()(d(n为自然数)令则xbxbattnnd)(d212dttbanCtabn1