中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法

1/6动点问题静态问题的划分面积公式的使用不同情况的考虑例1：（北京市石景山区2010年数学期中练习）在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1)求△ABC的面积；(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？(3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）例4：（09齐齐哈尔）直线364yx与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出AB、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）例5：（2009宁夏）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在ABC△的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点MN、分别作AB边的垂线，与ABC△的其它边交于PQ、两点，线段MN运动的时间为t秒．（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．解：（1）过点C作CDAB，垂足为D．则2AD，当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即32AM时，四边形MNQP是矩形，32t秒时，四边形MNQP是矩形．ACBxAOQPByCPQBAMNCPQBAMN2/63tan6032PMAM°=，332MNQPS四边形（2）1°当01t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形·332t2°当12t≤≤时，1()2MNQPSPMQNMN四边形·3323°当23t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形·7332t点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（几何中等量关系）例6：（2009四川乐山）．如图（15），在梯形ABCD中，906DCABAAD∥，°，厘米，4DC厘米，BC的坡度34i∶，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ，设PBQ△的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？6.解：（1）作CEAB于点E，如图（3）所示，则四边形AECD为矩形．46AECDCEDA，．又3344CEiEB∶，．812EBAB，．2分在RtCEB△中，由勾股定理得：2210BCCEEB．（2）假设PC与BQ相互平分．由DCAB∥，则PBCQ是平行四边形（此时Q在CD上）．·············即310122CQBPtt，．解得225t，即225t秒时，PC与BQ相互平分．（3）①当Q在BC上，即1003t≤≤时，作QFAB于F，则CEQF∥．QFBQCEBC，即396105QFttQF．．119(122)225PBQtSPBQFt△··=2981(3)55t．当3t秒时，PBQS△有最大值为2815厘米．图（3）CcDcAcBcQcPcEcCPQBAMN3/6②当Q在CD上，即101433t≤≤时，11(122)622PBQSPBCEt△·=366t．易知S随t的增大而减小．故当103t秒时，PBQS△有最大值为210366163厘米．29541055381165101463633tttytt，0≤，．≤≤综上，当3t时，PBQS△有最大值为2815厘米．例7：（包头）如图，已知ABC△中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t秒，∴313BPCQ厘米，∵10AB厘米，点D为AB的中点，∴5BD厘米．又∵8PCBCBPBC，厘米，∴835PC厘米，∴PCBD．又∵ABAC，∴BC，∴BPDCQP△≌△．②∵PQvv，∴BPCQ，又∵BPDCQP△≌△，BC，则45BPPCCQBD，，∴点P，点Q运动的时间433BPt秒，∴515443QCQvt厘米/秒．（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532104xx，解得803x秒．∴点P共运动了803803厘米．AQCDBP4/6∵8022824，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．静态问题的划分线段长度的表示方程的构建（相似）例8：（09济南）如图，在梯形ABCD中，354245ADBCADDCABB∥，，，，∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MNAB∥时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．解：（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形∴3KHAD．在RtABK△中，2sin454242AKAB．2cos454242BKAB在，RtCDH△中，由勾股定理得，22543HC∴43310BCBKKHHC（2）如图②，过D作DGAB∥交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形∵MNAB∥∴MNDG∥∴3BGAD∴1037GC由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，．∵DGMN∥∴NMCDGC∠∠又CC∠∠∴MNCGDC△∽△∴CNCMCDCG即10257tt解得，5017t（3）分三种情况讨论：①当NCMC时，如图③，即102tt∴103t②当MNNC时，如图④，过N作NEMC于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得11102522ECMCtt在RtCEN△中，5cosECtcNCt又在RtDHC△中，3cos5CHcCD∴535tt解得258t（图①）ADCBKH（图②）ADCBGMNADCBMN（图③）（图④）ADCBMNHE5/6ABOCDPQ∵90CCDHCNEC∠∠，∴NECDHC△∽△∴NCECDCHC即553tt∴258t③当MNMC时，如图⑤，过M作MFCN于F点.1122FCNCt解法一：（方法同②中解法一）132cos1025tFCCMCt解得6017t解法二：∵90CCMFCDHC∠∠，∴MFCDHC△∽△∴FCMCHCDC即1102235tt∴6017t综上所述，当103t、258t或6017t时，MNC△为等腰三角形例9：（呼和浩特）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？解：(1)∵直角梯形ABCD，ADBC∥PDQC∥当PDQC时，四边形PQCD为平行四边形．由题意可知：2APtCQt，82tt，38t，83t当83ts时，四边形PQCD为平行四边形．（2）解：设PQ与O⊙相切于点H，过点P作PEBC，垂足为E直角梯形ABCDADBC，∥PEAB由题意可知：2APBEtCQt，222BQBCCQt222223EQBQBEtttAB为O⊙的直径，90ABCDAB°ADBC、为O⊙的切线APPHHQBQ，22222PQPHHQAPBQttt（图⑤）ADCBHNMFOAPDBQCOAPDBQCHE6/6在RtPEQ△中，222PEEQPQ22212(223)(22)tt即：28881440tt211180tt，(2)(9)0tt1229tt，7分因为P在AD边运动的时间为8811AD秒，而98t9t（舍去）当2t秒时，PQ与O⊙相切．例10.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(0x)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，212220211211xxxx由，得，（舍去）．因为BQ+CM=34(211)20xx，此时点Q与点M不重合．所以211x符合题意．②当点Q与点M重合时，320,5xxx由得．此时22520DNx，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为211．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由220(3)20(2)xxxx，解得120()2xx舍去，．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由220(3)(2)20xxxx，解得1210()4xx舍去，．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当24xx或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2xx，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即223xxxx．解得120()4xx舍去，．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．ABDCPQMN